(1) $x$ についての不等式 $\frac{x+a}{2} < x+2 < \frac{2x+2a+7}{3}$ が与えられている。 $x=3$ がこの不等式を満たすときの $a$ の範囲、また不等式を満たす実数 $x$ が存在するときの $a$ の範囲、さらにそのときの不等式の解を求める。 (2) 正の数 $x$ に対して $\frac{5x+19}{2}$ を計算し、その小数第1位を四捨五入すると、整数 $7x+1$ に等しくなるとき、$x$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $x$ についての不等式 $\frac{x+a}{2} < x+2 < \frac{2x+2a+7}{3}$ が与えられている。

$x=3$ がこの不等式を満たすときの $a$ の範囲、また不等式を満たす実数 $x$ が存在するときの $a$ の範囲、さらにそのときの不等式の解を求める。

(2) 正の数 $x$ に対して $\frac{5x+19}{2}$ を計算し、その小数第1位を四捨五入すると、整数 $7x+1$ に等しくなるとき、$x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x=3$ を不等式に代入すると、

$\frac{3+a}{2} < 5 < \frac{6+2a+7}{3}$

$\frac{3+a}{2} < 5$ より、$3+a < 10$ なので $a < 7$

$5 < \frac{2a+13}{3}$ より、$15 < 2a+13$ なので $2 < 2a$ より $a > 1$

よって、$1 < a < 7$

次に、不等式 $\frac{x+a}{2} < x+2 < \frac{2x+2a+7}{3}$ を解く。

$\frac{x+a}{2} < x+2$ より、$x+a < 2x+4$ なので $x > a-4$

$x+2 < \frac{2x+2a+7}{3}$ より、$3x+6 < 2x+2a+7$ なので $x < 2a+1$

よって、$a-4 < x < 2a+1$

不等式を満たす実数 $x$ が存在するためには、$a-4 < 2a+1$ が必要。

$a-4 < 2a+1$ より、$-5 < a$ なので $a > -5$

不等式①の解は、$a-4 < x < 2a+1$

(2)

$\frac{5x+19}{2}$ を四捨五入すると $7x+1$ になるので、

$7x+1 - 0.5 \le \frac{5x+19}{2} < 7x+1 + 0.5$

$7x+0.5 \le \frac{5x+19}{2} < 7x+1.5$

$14x+1 \le 5x+19 < 14x+3$

まず、$14x+1 \le 5x+19$ より、$9x \le 18$ なので $x \le 2$

次に、$5x+19 < 14x+3$ より、$16 < 9x$ なので $x > \frac{16}{9}$

よって、$\frac{16}{9} < x \le 2$

$\frac{5x+19}{2}$ を四捨五入すると $7x+1$ になるので、$7x+1$ は整数。よって、$x$ は $\frac{整数}{7}$ または $\frac{整数}{5}$ の形になる。

$x$ が整数である場合、$\frac{16}{9} < x \le 2$ より $x=2$

$x=\frac{17}{9} \approx 1.89$ だと$\frac{5x+19}{2} = \frac{5(17/9) + 19}{2} = \frac{85/9 + 171/9}{2} = \frac{256}{18} = \frac{128}{9} \approx 14.22$。四捨五入で

1

4. $7x+1 = 7(\frac{17}{9}) + 1 = \frac{119}{9} + \frac{9}{9} = \frac{128}{9} \approx 14.22$。14.22ではない。

仮に$\frac{5x+19}{2}=14.5$であれば$7x+1 = 14+1=15$なので、四捨五入は15になる。$5x+19 = 29$,$5x=10$,$x=2$

$\frac{16}{9} < x \le 2$を満たす整数は2のみなので、$x=2$。

$x=2$

$\frac{5(2)+19}{2} = \frac{10+19}{2} = \frac{29}{2} = 14.5$

$7(2)+1 = 14+1 = 15$

14.5を四捨五入すると15になるので正しい。

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 7

ウエ: -5

オ: 4

カ: 2

キ: 1

クケ: 2

コ: (空欄)

サ: (空欄)