ベクトル $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ とベクトル $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、以下の値を計算する。 (1) $\lVert \mathbf{a} \rVert$ (2) $\lVert \mathbf{b} \rVert$ (3) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ (4) $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ (5) $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$ (6) $\mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ とベクトル $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、以下の値を計算する。

(1) $\lVert \mathbf{a} \rVert$

(2) $\lVert \mathbf{b} \rVert$

(3) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$

(4) $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$

(5) $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$

(6) $\mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$

2. 解き方の手順

(1) $\lVert \mathbf{a} \rVert$ を求める。

$\lVert \mathbf{a} \rVert = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$

(2) $\lVert \mathbf{b} \rVert$ を求める。

$\lVert \mathbf{b} \rVert = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{1+0+9} = \sqrt{10}$

(3) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ を求める。

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(-1) + (1)(0) + (2)(3) = -1 + 0 + 6 = 5$

(4) $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ を求める。

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix} (1)(3) - (2)(0) \\ (2)(-1) - (1)(3) \\ (1)(0) - (1)(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 - 0 \\ -2 - 3 \\ 0 - (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -5 \\ 1 \end{bmatrix}$

(5) $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$ を求める。

$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (1)(3) + (1)(-5) + (2)(1) = 3 - 5 + 2 = 0$

(6) $\mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$ を求める。

$\mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (-1)(3) + (0)(-5) + (3)(1) = -3 + 0 + 3 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\lVert \mathbf{a} \rVert = \sqrt{6}$

(2) $\lVert \mathbf{b} \rVert = \sqrt{10}$

(3) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 5$

(4) $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 \\ -5 \\ 1 \end{bmatrix}$

(5) $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = 0$

(6) $\mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = 0$