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与えられた関数について、2階偏導関数 $f_{xx}$、 $f_{yy}$ を求め、さらに交差偏導関数 $f_{xy}$、$f_{yx}$ を求め、それらが同じ値になることを確認する問題です。具体的には、以下の3つの関数に対して行います。 (1) $f(x,y) = xy^2 - 3xy^2 = -2xy^2$ (2) $f(x,y) = \frac{2}{3}x^3y - \frac{1}{4}xy^2$ (3) $f(x,y) = x^4y - x^3y$

解析学偏微分偏導関数2階偏導関数多変数関数
2025/6/26

1. 問題の内容

与えられた関数について、2階偏導関数 fxxf_{xx}、 fyyf_{yy} を求め、さらに交差偏導関数 fxyf_{xy}、fyxf_{yx} を求め、それらが同じ値になることを確認する問題です。具体的には、以下の3つの関数に対して行います。
(1) f(x,y)=xy2−3xy2=−2xy2f(x,y) = xy^2 - 3xy^2 = -2xy^2
(2) f(x,y)=23x3y−14xy2f(x,y) = \frac{2}{3}x^3y - \frac{1}{4}xy^2
(3) f(x,y)=x4y−x3yf(x,y) = x^4y - x^3y

2. 解き方の手順

(1) f(x,y)=−2xy2f(x,y) = -2xy^2 の場合：
* fx=∂f∂x=−2y2f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = -2y^2
* fy=∂f∂y=−4xyf_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -4xy
* fxx=∂2f∂x2=∂∂x(−2y2)=0f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (-2y^2) = 0
* fyy=∂2f∂y2=∂∂y(−4xy)=−4xf_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (-4xy) = -4x
* fxy=∂2f∂y∂x=∂∂y(−2y2)=−4yf_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (-2y^2) = -4y
* fyx=∂2f∂x∂y=∂∂x(−4xy)=−4yf_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (-4xy) = -4y
(2) f(x,y)=23x3y−14xy2f(x,y) = \frac{2}{3}x^3y - \frac{1}{4}xy^2 の場合：
* fx=∂f∂x=2x2y−14y2f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x^2y - \frac{1}{4}y^2
* fy=∂f∂y=23x3−12xyf_y = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}xy
* fxx=∂2f∂x2=∂∂x(2x2y−14y2)=4xyf_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (2x^2y - \frac{1}{4}y^2) = 4xy
* fyy=∂2f∂y2=∂∂y(23x3−12xy)=−12xf_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}xy) = -\frac{1}{2}x
* fxy=∂2f∂y∂x=∂∂y(2x2y−14y2)=2x2−12yf_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (2x^2y - \frac{1}{4}y^2) = 2x^2 - \frac{1}{2}y
* fyx=∂2f∂x∂y=∂∂x(23x3−12xy)=2x2−12yf_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}xy) = 2x^2 - \frac{1}{2}y
(3) f(x,y)=x4y−x3yf(x,y) = x^4y - x^3y の場合：
* fx=∂f∂x=4x3y−3x2yf_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 4x^3y - 3x^2y
* fy=∂f∂y=x4−x3f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = x^4 - x^3
* fxx=∂2f∂x2=∂∂x(4x3y−3x2y)=12x2y−6xyf_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (4x^3y - 3x^2y) = 12x^2y - 6xy
* fyy=∂2f∂y2=∂∂y(x4−x3)=0f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (x^4 - x^3) = 0
* fxy=∂2f∂y∂x=∂∂y(4x3y−3x2y)=4x3−3x2f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (4x^3y - 3x^2y) = 4x^3 - 3x^2
* fyx=∂2f∂x∂y=∂∂x(x4−x3)=4x3−3x2f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (x^4 - x^3) = 4x^3 - 3x^2

3. 最終的な答え

(1) f(x,y)=−2xy2f(x,y) = -2xy^2 の場合：
* fxx=0f_{xx} = 0
* fyy=−4xf_{yy} = -4x
* fxy=−4yf_{xy} = -4y
* fyx=−4yf_{yx} = -4y
(2) f(x,y)=23x3y−14xy2f(x,y) = \frac{2}{3}x^3y - \frac{1}{4}xy^2 の場合：
* fxx=4xyf_{xx} = 4xy
* fyy=−12xf_{yy} = -\frac{1}{2}x
* fxy=2x2−12yf_{xy} = 2x^2 - \frac{1}{2}y
* fyx=2x2−12yf_{yx} = 2x^2 - \frac{1}{2}y
(3) f(x,y)=x4y−x3yf(x,y) = x^4y - x^3y の場合：
* fxx=12x2y−6xyf_{xx} = 12x^2y - 6xy
* fyy=0f_{yy} = 0
* fxy=4x3−3x2f_{xy} = 4x^3 - 3x^2
* fyx=4x3−3x2f_{yx} = 4x^3 - 3x^2
いずれの場合も、fxy=fyxf_{xy} = f_{yx} が成り立っています。

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