$a$ は定数で、$a \neq 1$ とする。$x$ についての不等式 $ax < x - 2a$ において、$x = -1$ と $x = 3$ がいずれもこの不等式の解であるとき、$a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は定数で、$a \neq 1$ とする。$x$ についての不等式 $ax < x - 2a$ において、$x = -1$ と $x = 3$ がいずれもこの不等式の解であるとき、$a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $ax < x - 2a$ を変形します。

$ax - x < -2a$

$(a - 1)x < -2a$

ここで、$a - 1$ の正負によって場合分けを行います。

(i) $a - 1 > 0$ つまり $a > 1$ のとき

$x < \frac{-2a}{a - 1}$

$x = -1$ と $x = 3$ が解であるので、$\frac{-2a}{a - 1}$ は $-1$ と $3$ より大きい必要があります。

$-1 < \frac{-2a}{a - 1}$ かつ $3 < \frac{-2a}{a - 1}$

まず、$-1 < \frac{-2a}{a - 1}$ を解きます。

$-1 - \frac{-2a}{a - 1} < 0$

$\frac{-(a - 1) + 2a}{a - 1} < 0$

$\frac{a + 1}{a - 1} < 0$

$a - 1 > 0$ より、$a > 1$ なので、$a + 1 > 0$ である必要があります。

したがって、$a > 1$ より $-1 < a < 1$ は成立しません。

次に、$3 < \frac{-2a}{a - 1}$ を解きます。

$3 - \frac{-2a}{a - 1} < 0$

$\frac{3(a - 1) + 2a}{a - 1} < 0$

$\frac{5a - 3}{a - 1} < 0$

$a > 1$ より、$a - 1 > 0$ なので、$5a - 3 < 0$ である必要があります。

$5a < 3$

$a < \frac{3}{5}$

これは、$a > 1$ に矛盾します。

(ii) $a - 1 < 0$ つまり $a < 1$ のとき

$x > \frac{-2a}{a - 1}$

$x = -1$ と $x = 3$ が解であるので、$\frac{-2a}{a - 1}$ は $-1$ と $3$ より小さい必要があります。

$\frac{-2a}{a - 1} < -1$ かつ $\frac{-2a}{a - 1} < 3$

まず、$\frac{-2a}{a - 1} < -1$ を解きます。

$\frac{-2a}{a - 1} + 1 < 0$

$\frac{-2a + (a - 1)}{a - 1} < 0$

$\frac{-a - 1}{a - 1} < 0$

$\frac{a + 1}{a - 1} > 0$

$a < 1$ より、$a - 1 < 0$ なので、$a + 1 < 0$ である必要があります。

$a < -1$

次に、$\frac{-2a}{a - 1} < 3$ を解きます。

$\frac{-2a}{a - 1} - 3 < 0$

$\frac{-2a - 3(a - 1)}{a - 1} < 0$

$\frac{-5a + 3}{a - 1} < 0$

$\frac{5a - 3}{a - 1} > 0$

$a < 1$ より、$a - 1 < 0$ なので、$5a - 3 < 0$ である必要があります。

$5a < 3$

$a < \frac{3}{5}$

したがって、$a < -1$ と $a < \frac{3}{5}$ より、$a < -1$ が必要条件となります。

3. 最終的な答え

$a < -1$