(1) $x > 0$ のとき、$x + \frac{9}{x}$ の最小値を求めよ。 (2) $x > 0$ のとき、$x + \frac{9}{x+2}$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $x > 0$ のとき、$x + \frac{9}{x}$ の最小値を求めよ。

(2) $x > 0$ のとき、$x + \frac{9}{x+2}$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 相加相乗平均の不等式を利用する。

$x > 0$ より、$x > 0$ かつ $\frac{9}{x} > 0$ である。

相加相乗平均の不等式より、

$x + \frac{9}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{9}{x}} = 2\sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$

等号成立は $x = \frac{9}{x}$ のとき、つまり $x^2 = 9$ のときである。$x > 0$ より、$x = 3$。

したがって、最小値は6である。

(2) $x+2$を作り出すことを考える。$x+2>0$である。

$x + \frac{9}{x+2} = (x+2) + \frac{9}{x+2} - 2$

相加相乗平均の不等式より、$(x+2) + \frac{9}{x+2} \geq 2\sqrt{(x+2) \cdot \frac{9}{x+2}} = 2\sqrt{9} = 6$

したがって、$x + \frac{9}{x+2} \geq 6 - 2 = 4$

等号成立は $x+2 = \frac{9}{x+2}$ のとき、つまり $(x+2)^2 = 9$ のときである。$x+2 > 0$ より、$x+2 = 3$ なので、$x = 1$。

$x=1$は$x>0$を満たしている。

したがって、最小値は4である。

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) 4