ある商品を1個500円で仕入れ、売り値を800円にすると1日に400個売れる。売り値を1円値上げするごとに、1日の売り上げ個数が1個減少する。仕入れた商品をその日のうちに完売させるとき、1日の利益を最大にする仕入れ個数と1個あたりの売り値を求める。

1. 問題の内容

ある商品を1個500円で仕入れ、売り値を800円にすると1日に400個売れる。売り値を1円値上げするごとに、1日の売り上げ個数が1個減少する。仕入れた商品をその日のうちに完売させるとき、1日の利益を最大にする仕入れ個数と1個あたりの売り値を求める。

2. 解き方の手順

1. 売り値を $800+x$ 円とすると、1日の売り上げ個数は $400-x$ 個となる。

2. 1日の利益 $P$ は、売り上げ総額から仕入れ総額を引いたものであるから、以下の式で表される。

$$P = (800+x)(400-x) - 500(400-x)$$

3. 上記の式を展開し、整理する。

$$P = 320000 - 800x + 400x - x^2 - 200000 + 500x$$

$$P = -x^2 + 100x + 120000$$

4. 利益 $P$ を最大にする $x$ の値を求めるために、平方完成を行う。

$$P = -(x^2 - 100x) + 120000$$

$$P = -(x^2 - 100x + 2500 - 2500) + 120000$$

$$P = -(x - 50)^2 + 2500 + 120000$$

$$P = -(x - 50)^2 + 122500$$

5. 利益 $P$ が最大となるのは、$x = 50$ のときである。

6. 売り値は $800 + x = 800 + 50 = 850$ 円となる。

7. 仕入れ個数は $400 - x = 400 - 50 = 350$ 個となる。

3. 最終的な答え

仕入れ個数：350個

1個あたりの売り値：850円