数列 $\{F_n\}$ は $F_{k+2} = F_k + F_{k+1}$ ($F_1 = 1$, $F_2 = 1$) で定義されるフィボナッチ数列である。数列 $\{A_n\}$ を $A_n = F_{n+1} - \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_n$ と定義する。 (1) 漸化式 $A_{k+1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}A_k$ が成り立つことを示せ。 (2) 数列 $\{A_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{F_n\}$ は $F_{k+2} = F_k + F_{k+1}$ ($F_1 = 1$, $F_2 = 1$) で定義されるフィボナッチ数列である。数列 $\{A_n\}$ を $A_n = F_{n+1} - \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_n$ と定義する。

(1) 漸化式 $A_{k+1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}A_k$ が成り立つことを示せ。

(2) 数列 $\{A_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $A_{k+1} = F_{k+2} - \frac{1-\sqrt{5}}{2} F_{k+1}$ である。

フィボナッチ数列の漸化式より $F_{k+2} = F_{k+1} + F_k$ なので、

$A_{k+1} = F_{k+1} + F_k - \frac{1-\sqrt{5}}{2} F_{k+1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} F_{k+1} + F_k$ となる。

ここで、$A_k = F_{k+1} - \frac{1-\sqrt{5}}{2} F_k$ より $F_{k+1} = A_k + \frac{1-\sqrt{5}}{2} F_k$ なので、

$A_{k+1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} (A_k + \frac{1-\sqrt{5}}{2} F_k) + F_k = \frac{1+\sqrt{5}}{2} A_k + \frac{1+\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1-\sqrt{5}}{2} F_k + F_k$

$= \frac{1+\sqrt{5}}{2} A_k + \frac{1-5}{4} F_k + F_k = \frac{1+\sqrt{5}}{2} A_k - F_k + F_k = \frac{1+\sqrt{5}}{2} A_k$

よって、$A_{k+1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} A_k$ が成り立つ。

(2) (1)より、数列 $\{A_n\}$ は公比 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ の等比数列である。

$A_1 = F_2 - \frac{1-\sqrt{5}}{2} F_1 = 1 - \frac{1-\sqrt{5}}{2} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

したがって、$A_n = A_1 (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1} = (\frac{1+\sqrt{5}}{2}) (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1} = (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n$

3. 最終的な答え

(1) $A_{k+1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} A_k$

(2) $A_n = (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n$