$\sqrt{67 - 2n}$ の値が整数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さいものを求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{67 - 2n}$ の値が整数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さいものを求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{67 - 2n}$ が整数となるためには、$67 - 2n$ が0以上の整数の平方数でなければなりません。 つまり、$67 - 2n = m^2$ （$m$ は0以上の整数）となる必要があります。

$67 - 2n = m^2$ を $n$ について解くと、

$2n = 67 - m^2$

$n = \frac{67 - m^2}{2}$

$n$ が自然数となるためには、以下の条件を満たす必要があります。

* $67 - m^2$ は偶数である。つまり、$m^2$ は奇数である必要がある。したがって、$m$ は奇数である。

* $67 - m^2 > 0$ であり、$67 - m^2$ は2で割り切れる。

* $n$ が最も小さい自然数であるためには、$m$ は最も大きい奇数である必要がある。

$m$ が奇数のとき、$m^2$ は奇数になるので、$67 - m^2$ は偶数になります。

$m$ の値として、$1, 3, 5, 7, ...$ を試してみます。

* $m = 1$ のとき、$n = \frac{67 - 1^2}{2} = \frac{66}{2} = 33$

* $m = 3$ のとき、$n = \frac{67 - 3^2}{2} = \frac{67 - 9}{2} = \frac{58}{2} = 29$

* $m = 5$ のとき、$n = \frac{67 - 5^2}{2} = \frac{67 - 25}{2} = \frac{42}{2} = 21$

* $m = 7$ のとき、$n = \frac{67 - 7^2}{2} = \frac{67 - 49}{2} = \frac{18}{2} = 9$

* $m = 9$ のとき、$n = \frac{67 - 9^2}{2} = \frac{67 - 81}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

$n$ が自然数である必要があるため、$m = 1, 3, 5, 7$ の場合のみ考えます。$m$ が大きいほど、$n$ は小さくなります。したがって、$m = 7$ のとき、$n = 9$ が最も小さい自然数となります。

3. 最終的な答え

9