自然数 $n$ に対して、$5^n - 1$ が4の倍数であることを数学的帰納法を用いて証明する。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$5^n - 1$ が4の倍数であることを数学的帰納法を用いて証明する。

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明を行う。

(1) $n = 1$ のとき:

$5^1 - 1 = 5 - 1 = 4$ となり、4の倍数である。したがって、$n = 1$ のとき、$5^n - 1$ は4の倍数である。

(2) $n = k$ のとき、$5^k - 1$ が4の倍数であると仮定する。

すなわち、$5^k - 1 = 4m$（$m$ は整数）とおける。

(3) $n = k + 1$ のとき:

$5^{k+1} - 1$ が4の倍数であることを示す。

$5^{k+1} - 1 = 5 \cdot 5^k - 1$

$= 5 (4m + 1) - 1$

$= 20m + 5 - 1$

$= 20m + 4$

$= 4 (5m + 1)$

$5m+1$ は整数であるから、$5^{k+1} - 1$ は4の倍数である。

(4) 結論

(1)と(3)より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ に対して、$5^n - 1$ は4の倍数である。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ に対して、$5^n - 1$ は4の倍数である。