問題1は、4つの1次不定方程式の全ての整数解を求める問題です。 問題2は、3で割ると2余り、5で割ると4余る2桁の正の整数のうち、最大のものを求める問題です。

1. 問題の内容

問題1は、4つの1次不定方程式の全ての整数解を求める問題です。

問題2は、3で割ると2余り、5で割ると4余る2桁の正の整数のうち、最大のものを求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1：

(1) $5x - 3y = 0$

$5x = 3y$

$x = 3k$, $y = 5k$ ($k$は整数)

(2) $2x + 5y = 0$

$2x = -5y$

$x = -5k$, $y = 2k$ ($k$は整数)

(3) $2x + 3y = 7$

$x = 2$, $y = 1$は一つの解である。

$2(x - 2) + 3(y - 1) = 0$

$2(x - 2) = -3(y - 1)$

$x - 2 = -3k$, $y - 1 = 2k$ ($k$は整数)

$x = -3k + 2$, $y = 2k + 1$

(4) $5x - 3y = 2$

$x = 1$, $y = 1$は一つの解である。

$5(x - 1) - 3(y - 1) = 0$

$5(x - 1) = 3(y - 1)$

$x - 1 = 3k$, $y - 1 = 5k$ ($k$は整数)

$x = 3k + 1$, $y = 5k + 1$

問題2：

求める整数を$n$とすると、

$n \equiv 2 \pmod{3}$

$n \equiv 4 \pmod{5}$

$n = 3k + 2 = 5l + 4$ ($k, l$は整数)

$3k - 5l = 2$

$k = 4, l = 2$は一つの解である。

$3(k - 4) - 5(l - 2) = 0$

$3(k - 4) = 5(l - 2)$

$k - 4 = 5m$, $l - 2 = 3m$ ($m$は整数)

$k = 5m + 4$, $l = 3m + 2$

$n = 3(5m + 4) + 2 = 15m + 12 + 2 = 15m + 14$

$n = 5(3m + 2) + 4 = 15m + 10 + 4 = 15m + 14$

$n = 15m + 14$

$n$は2桁の正の整数なので、$10 \le n \le 99$

$10 \le 15m + 14 \le 99$

$-4 \le 15m \le 85$

$-4/15 \le m \le 85/15 = 17/3 = 5.66...$

$m$は整数なので、$0 \le m \le 5$

最大の$n$は、$m = 5$のとき

$n = 15 \times 5 + 14 = 75 + 14 = 89$

3. 最終的な答え

問題1：

(1) $x = 3k, y = 5k$ ($k$は整数)

(2) $x = -5k, y = 2k$ ($k$は整数)

(3) $x = -3k + 2, y = 2k + 1$ ($k$は整数)

(4) $x = 3k + 1, y = 5k + 1$ ($k$は整数)

問題2：

89