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問題は以下の通りです。 (3) $p_5 x - p_6 y = 1$ が成り立つような $M$ の要素の組 $(x, y)$ は全部で何個あるか。それらのうち、$x$ が最小のものは $(x, y) = (? , ?)$ であり、$x$ が最大のものは $(x, y) = (? , ?)$ である。 (4) $M$ の要素のうち、積 $p_4 p_5$ と互いに素なものは全部で何個あり、積 $p_4 p_5 p_6$ と互いに素なものは全部で何個あるか。 ただし、$M$ はどのような集合なのかが不明であり、$p_4$, $p_5$, $p_6$ が何を表すかも不明であるため、これ以上解き進めることができません。 例えば、$p_i$ が素数を表すのか、$M$ が自然数の集合なのか、などが分からないと解けません。 ここでは、$M = \{1, 2, 3, ..., 30\}$、$p_4 = 2$, $p_5 = 3$, $p_6 = 5$ と仮定して問題を解きます。

数論不定方程式互いに素整数論集合
2025/7/17

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。
(3) p5x−p6y=1p_5 x - p_6 y = 1 が成り立つような MM の要素の組 (x,y)(x, y) は全部で何個あるか。それらのうち、xx が最小のものは (x,y)=(?,?)(x, y) = (? , ?) であり、xx が最大のものは (x,y)=(?,?)(x, y) = (? , ?) である。
(4) MM の要素のうち、積 p4p5p_4 p_5 と互いに素なものは全部で何個あり、積 p4p5p6p_4 p_5 p_6 と互いに素なものは全部で何個あるか。
ただし、MM はどのような集合なのかが不明であり、p4p_4, p5p_5, p6p_6 が何を表すかも不明であるため、これ以上解き進めることができません。
例えば、pip_i が素数を表すのか、MM が自然数の集合なのか、などが分からないと解けません。
ここでは、M={1,2,3,...,30}M = \{1, 2, 3, ..., 30\}、p4=2p_4 = 2, p5=3p_5 = 3, p6=5p_6 = 5 と仮定して問題を解きます。

2. 解き方の手順

(3) 3x−5y=13x - 5y = 1 を満たす x,y∈Mx, y \in M を求める。
3x=5y+13x = 5y + 1 なので、3x3x は 5 で割ると 1 余る数でなければならない。
x=2x = 2 のとき 3x=6=5∗1+13x = 6 = 5 * 1 + 1 なので、y=1y = 1。(2,1)(2, 1) が解の1つ。
一般解は x=2+5kx = 2 + 5k, y=1+3ky = 1 + 3k （kkは整数）。
x,y∈Mx, y \in M なので、1≤x≤301 \le x \le 30 かつ 1≤y≤301 \le y \le 30 を満たす必要がある。
1≤2+5k≤301 \le 2 + 5k \le 30 より −1/5≤k≤28/5-1/5 \le k \le 28/5 なので、0≤k≤50 \le k \le 5。
1≤1+3k≤301 \le 1 + 3k \le 30 より 0≤k≤29/30 \le k \le 29/3 なので、0≤k≤90 \le k \le 9。
よって、0≤k≤50 \le k \le 5 である。k=0,1,2,3,4,5k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 の 6 個の解がある。
xx が最小のものは k=0k=0 のとき (2,1)(2, 1)。
xx が最大のものは k=5k=5 のとき (27,16)(27, 16)。
(4) MM の要素のうち、p4p5=2∗3=6p_4 p_5 = 2 * 3 = 6 と互いに素なものを求める。
MM の要素のうち、22 の倍数でないもの、33 の倍数でないものを数える。
MM の要素のうち、22 の倍数は 30/2=1530/2 = 15 個。
MM の要素のうち、33 の倍数は 30/3=1030/3 = 10 個。
MM の要素のうち、66 の倍数は 30/6=530/6 = 5 個。
66 と互いに素な数は 30−(15+10−5)=30−20=1030 - (15 + 10 - 5) = 30 - 20 = 10 個。
p4p5p6=2∗3∗5=30p_4 p_5 p_6 = 2 * 3 * 5 = 30 と互いに素なものを求める。
MM の要素のうち、22 の倍数、33 の倍数、55 の倍数でないものを数える。
MM の要素のうち、22 の倍数は 1515 個、33 の倍数は 1010 個、55 の倍数は 66 個。
MM の要素のうち、66 の倍数は 55 個、1010 の倍数は 33 個、1515 の倍数は 22 個。
MM の要素のうち、3030 の倍数は 11 個。
3030 と互いに素な数は 30−(15+10+6−5−3−2+1)=30−(31−10+1)=30−22=830 - (15 + 10 + 6 - 5 - 3 - 2 + 1) = 30 - (31 - 10 + 1) = 30 - 22 = 8 個。

3. 最終的な答え

(3) 組の個数: 6
xx 最小: (2,1)(2, 1)
xx 最大: (27,16)(27, 16)
(4) p4p5p_4 p_5 と互いに素: 10
p4p5p6p_4 p_5 p_6 と互いに素: 8

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