$5^{100}$ を $7$ で割ったときの余りを求めます。

1. 問題の内容

$5^{100}$ を $7$ で割ったときの余りを求めます。

2. 解き方の手順

この問題は、剰余の性質を利用して解きます。まず、$5$ の累乗を $7$ で割った余りをいくつか計算し、規則性を見つけます。

$5^1 \equiv 5 \pmod{7}$

$5^2 \equiv 25 \equiv 4 \pmod{7}$

$5^3 \equiv 5 \times 4 \equiv 20 \equiv 6 \pmod{7}$

$5^4 \equiv 5 \times 6 \equiv 30 \equiv 2 \pmod{7}$

$5^5 \equiv 5 \times 2 \equiv 10 \equiv 3 \pmod{7}$

$5^6 \equiv 5 \times 3 \equiv 15 \equiv 1 \pmod{7}$

$5^6 \equiv 1 \pmod{7}$ という関係が見つかりました。

これを利用して、$5^{100}$ を $7$ で割った余りを計算します。

$100 = 6 \times 16 + 4$ なので、

$5^{100} = 5^{6 \times 16 + 4} = (5^6)^{16} \times 5^4$

$5^6 \equiv 1 \pmod{7}$ より、$(5^6)^{16} \equiv 1^{16} \equiv 1 \pmod{7}$

また、$5^4 \equiv 2 \pmod{7}$ でしたので、

$5^{100} \equiv 1 \times 2 \equiv 2 \pmod{7}$

したがって、$5^{100}$ を $7$ で割った余りは $2$ です。

3. 最終的な答え

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