(5) 5で割ると3余り、8で割ると1余る自然数の中で最も小さいものを求める。 (6) 14で割ると3余り、21で割ると12余るような整数が存在しないことを示す。

1. 問題の内容

(5) 5で割ると3余り、8で割ると1余る自然数の中で最も小さいものを求める。

(6) 14で割ると3余り、21で割ると12余るような整数が存在しないことを示す。

2. 解き方の手順

(5)

求める自然数を $x$ とすると、

$x = 5k + 3$ （$k$は整数）

$x = 8l + 1$ （$l$は整数）

と表せる。

したがって、$5k + 3 = 8l + 1$

$5k = 8l - 2$

$k = \frac{8l - 2}{5}$

$k$ が整数となるような最小の $l$ を探す。

$l = 1$ のとき、$k = \frac{8 - 2}{5} = \frac{6}{5}$ (整数ではない)

$l = 2$ のとき、$k = \frac{16 - 2}{5} = \frac{14}{5}$ (整数ではない)

$l = 3$ のとき、$k = \frac{24 - 2}{5} = \frac{22}{5}$ (整数ではない)

$l = 4$ のとき、$k = \frac{32 - 2}{5} = \frac{30}{5} = 6$ (整数)

したがって、$l = 4$ のとき、$x = 8l + 1 = 8(4) + 1 = 32 + 1 = 33$

または、$k = 6$ のとき、$x = 5k + 3 = 5(6) + 3 = 30 + 3 = 33$

したがって、求める自然数は33である。

(6)

求める整数を $y$ とすると、

$y = 14m + 3$ （$m$は整数）

$y = 21n + 12$ （$n$は整数）

と表せる。

したがって、$14m + 3 = 21n + 12$

$14m = 21n + 9$

$2m = 3n + \frac{9}{7}$

$m = \frac{3n}{14} + \frac{9}{14}$

$14m = 21n + 9$

$7(2m) = 7(3n) + 9$

左辺は7の倍数であるが、右辺は7で割ると2余る。

よって、このような整数は存在しない。

3. 最終的な答え

(5) 33

(6) 存在しない