整数 $a, b$ があり、$a$ を7で割ると1余り、$b$ を7で割ると2余るとき、以下の数を7で割った余りを求めよ。 (1) $a+b$ (2) $ab$ (3) $a^2-b^2$

1. 問題の内容

整数 $a, b$ があり、$a$ を7で割ると1余り、$b$ を7で割ると2余るとき、以下の数を7で割った余りを求めよ。

(1) $a+b$

(2) $ab$

(3) $a^2-b^2$

2. 解き方の手順

$a$ を7で割ると1余り、$b$ を7で割ると2余ることから、$a = 7k + 1$、$b = 7l + 2$ （$k, l$ は整数）と表せる。

(1) $a+b = (7k + 1) + (7l + 2) = 7k + 7l + 3 = 7(k+l) + 3$

したがって、$a+b$ を7で割った余りは3。

(2) $ab = (7k + 1)(7l + 2) = 49kl + 14k + 7l + 2 = 7(7kl + 2k + l) + 2$

したがって、$ab$ を7で割った余りは2。

(3) $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) = (7k+1+7l+2)(7k+1-(7l+2)) = (7(k+l)+3)(7(k-l)-1)$

$a^2 - b^2 = (7(k+l)+3)(7(k-l)-1) = 49(k+l)(k-l) -7(k+l)+21(k-l)-3 = 49(k+l)(k-l) +14k-28l-3 = 7(7(k+l)(k-l) +2k-4l) -3 = 7(7(k+l)(k-l) +2k-4l) -3 +7 -7 = 7(7(k+l)(k-l) +2k-4l-1) +4$

したがって、$a^2 - b^2$ を7で割った余りは4。

別解として、$a \equiv 1 \pmod{7}$, $b \equiv 2 \pmod{7}$ を利用する。

(1) $a+b \equiv 1+2 \equiv 3 \pmod{7}$

(2) $ab \equiv 1 \cdot 2 \equiv 2 \pmod{7}$

(3) $a^2 - b^2 \equiv 1^2 - 2^2 \equiv 1 - 4 \equiv -3 \equiv 4 \pmod{7}$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 2

(3) 4