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## 問題 1(1) の内容

数論数学的帰納法等式不等式階乗
2025/7/17
## 問題 1(1) の内容
数学的帰納法を用いて、以下の等式を証明する。
1⋅1!+2⋅2!+3⋅3!+⋯+n⋅n!=(n+1)!−11 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + n \cdot n! = (n+1)! - 1
## 解き方の手順
数学的帰納法を用いて証明する。
**ステップ1：** n=1n=1 のとき
左辺：1⋅1!=11 \cdot 1! = 1
右辺：(1+1)!−1=2!−1=2−1=1(1+1)! - 1 = 2! - 1 = 2 - 1 = 1
よって、n=1n=1 のとき、等式は成り立つ。
**ステップ2：** n=kn=k のとき、等式が成り立つと仮定する。すなわち、
1⋅1!+2⋅2!+3⋅3!+⋯+k⋅k!=(k+1)!−11 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + k \cdot k! = (k+1)! - 1
が成り立つと仮定する。
**ステップ3：** n=k+1n=k+1 のとき、等式が成り立つことを示す。
n=k+1n=k+1 のとき、証明すべき式は以下となる。
1⋅1!+2⋅2!+3⋅3!+⋯+k⋅k!+(k+1)⋅(k+1)!=(k+2)!−11 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + k \cdot k! + (k+1) \cdot (k+1)! = (k+2)! - 1
ステップ2の仮定より、左辺は
(k+1)!−1+(k+1)⋅(k+1)!=(k+1)!+(k+1)⋅(k+1)!−1(k+1)! - 1 + (k+1) \cdot (k+1)! = (k+1)! + (k+1) \cdot (k+1)! - 1
=(k+1)!(1+k+1)−1= (k+1)!(1 + k+1) - 1
=(k+1)!(k+2)−1= (k+1)!(k+2) - 1
=(k+2)!−1= (k+2)! - 1
これは右辺に等しい。
よって、n=k+1n=k+1 のときも等式は成り立つ。
**結論：**
ステップ1, 3より、数学的帰納法によって、すべての正の整数 nn に対して、等式 1⋅1!+2⋅2!+3⋅3!+⋯+n⋅n!=(n+1)!−11 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + n \cdot n! = (n+1)! - 1 が成り立つ。
## 問題 1(2) の内容
数学的帰納法を用いて、以下の不等式を証明する。
2n>n2−n+22^n > n^2 - n + 2
ただし、nn は 4 以上の自然数
## 解き方の手順
数学的帰納法を用いて証明する。
**ステップ1：** n=4n=4 のとき
左辺：24=162^4 = 16
右辺：42−4+2=16−4+2=144^2 - 4 + 2 = 16 - 4 + 2 = 14
よって、n=4n=4 のとき、24>42−4+22^4 > 4^2 - 4 + 2 が成り立つ。
**ステップ2：** n=kn=k のとき、不等式が成り立つと仮定する。すなわち、k≥4k \ge 4 として
2k>k2−k+22^k > k^2 - k + 2
が成り立つと仮定する。
**ステップ3：** n=k+1n=k+1 のとき、不等式が成り立つことを示す。
n=k+1n=k+1 のとき、証明すべき式は以下となる。
2k+1>(k+1)2−(k+1)+22^{k+1} > (k+1)^2 - (k+1) + 2
ステップ2の仮定より、2k>k2−k+22^k > k^2 - k + 2 なので、
2k+1=2⋅2k>2(k2−k+2)=2k2−2k+42^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2(k^2 - k + 2) = 2k^2 - 2k + 4
ここで、2k2−2k+4>(k+1)2−(k+1)+22k^2 - 2k + 4 > (k+1)^2 - (k+1) + 2 を示す。
(k+1)2−(k+1)+2=k2+2k+1−k−1+2=k2+k+2(k+1)^2 - (k+1) + 2 = k^2 + 2k + 1 - k - 1 + 2 = k^2 + k + 2
2k2−2k+4>k2+k+22k^2 - 2k + 4 > k^2 + k + 2 を示すために、以下の不等式を示す。
2k2−2k+4−(k2+k+2)>02k^2 - 2k + 4 - (k^2 + k + 2) > 0
k2−3k+2>0k^2 - 3k + 2 > 0
(k−1)(k−2)>0(k-1)(k-2) > 0
k≥4k \ge 4 なので、k−1>0k-1 > 0 かつ k−2>0k-2 > 0。よって、(k−1)(k−2)>0(k-1)(k-2) > 0 が成立する。
したがって、2k2−2k+4>k2+k+2=(k+1)2−(k+1)+22k^2 - 2k + 4 > k^2 + k + 2 = (k+1)^2 - (k+1) + 2 が成り立つ。
ゆえに、2k+1>2(k2−k+2)>(k+1)2−(k+1)+22^{k+1} > 2(k^2 - k + 2) > (k+1)^2 - (k+1) + 2
よって、2k+1>(k+1)2−(k+1)+22^{k+1} > (k+1)^2 - (k+1) + 2 が成り立つ。
**結論：**
ステップ1, 3より、数学的帰納法によって、4 以上のすべての自然数 nn に対して、不等式 2n>n2−n+22^n > n^2 - n + 2 が成り立つ。
## 最終的な答え
**(1)** 1⋅1!+2⋅2!+3⋅3!+⋯+n⋅n!=(n+1)!−11 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + n \cdot n! = (n+1)! - 1
**(2)** 2n>n2−n+22^n > n^2 - n + 2 (ただし、nn は 4 以上の自然数)

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