(5) 5で割ると3余り、8で割ると1余る自然数のうち、最も小さいものを求める。 (6) 14で割ると3余り、21で割ると12余るような整数が存在しないことを示す。

1. 問題の内容

(5) 5で割ると3余り、8で割ると1余る自然数のうち、最も小さいものを求める。

(6) 14で割ると3余り、21で割ると12余るような整数が存在しないことを示す。

2. 解き方の手順

(5)

求める自然数を $x$ とすると、次の2つの式が成り立つ。

$x \equiv 3 \pmod{5}$

$x \equiv 1 \pmod{8}$

1つ目の式より、$x = 5k + 3$ （$k$ は整数）と表せる。

これを2つ目の式に代入すると、

$5k + 3 \equiv 1 \pmod{8}$

$5k \equiv -2 \equiv 6 \pmod{8}$

$5k \equiv 6 \pmod{8}$の両辺に5をかけると、

$25k \equiv 30 \pmod{8}$

$k \equiv 6 \pmod{8}$

よって、$k = 8l + 6$ （$l$ は整数）と表せる。

これを$x = 5k + 3$ に代入すると、

$x = 5(8l + 6) + 3 = 40l + 30 + 3 = 40l + 33$

$l = 0$のとき、$x = 33$となり、これが最も小さい自然数である。

(6)

求める整数を $y$ とすると、次の2つの式が成り立つ。

$y \equiv 3 \pmod{14}$

$y \equiv 12 \pmod{21}$

1つ目の式より、$y = 14m + 3$ （$m$ は整数）と表せる。

これを2つ目の式に代入すると、

$14m + 3 \equiv 12 \pmod{21}$

$14m \equiv 9 \pmod{21}$

$14m = 21n + 9$ ($n$ は整数) と表せるので、

$14m - 21n = 9$

$7(2m - 3n) = 9$

左辺は7の倍数であるが、右辺は7の倍数ではないので、この式を満たす整数 $m, n$ は存在しない。

したがって、$y \equiv 3 \pmod{14}$かつ$y \equiv 12 \pmod{21}$を満たす整数 $y$ は存在しない。

3. 最終的な答え

(5) 33

(6) 14で割ると3余り、21で割ると12余るような整数は存在しない。