問題は以下の2つです。 (1) $5^{105}$ は何桁の整数であるか。また、その最高位の数字は何か。 (2) $(\frac{1}{5})^{105}$ は小数第何位に初めて0でない数が現れるか。 ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$とします。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) $5^{105}$ は何桁の整数であるか。また、その最高位の数字は何か。

(2) $(\frac{1}{5})^{105}$ は小数第何位に初めて0でない数が現れるか。

ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$とします。

2. 解き方の手順

(1) $5^{105}$ の桁数と最高位の数字を求める。

まず、$5^{105}$ の常用対数をとります。

$\log_{10}5^{105} = 105 \log_{10}5 = 105 \log_{10}(\frac{10}{2}) = 105(\log_{10}10 - \log_{10}2) = 105(1 - 0.3010) = 105 \times 0.6990 = 73.395$

したがって、$5^{105} = 10^{73.395} = 10^{73} \times 10^{0.395}$ となります。

$5^{105}$ の桁数は $73 + 1 = 74$ 桁です。

次に、最高位の数字を求めます。

$10^{0.395}$ の値を調べます。

$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ より、

$0.3010 < 0.395 < 0.4771$ なので、

$2 < 10^{0.395} < 3$ となります。

$x = 10^{0.395}$ とおき、より精密な値を探します。

$\log_{10}2.5 = \log_{10} \frac{5}{2} = \log_{10} 5 - \log_{10} 2 = (1 - \log_{10} 2) - \log_{10} 2 = 1 - 2 \log_{10} 2 = 1 - 2 \times 0.3010 = 1 - 0.6020 = 0.3980$

$0.395 < 0.3980$なので、 $10^{0.395} < 2.5$

$\log_{10}2.4 = \log_{10} \frac{24}{10} = \log_{10} (3 \cdot 8 /10) = \log_{10} 3 + 3\log_{10} 2 - 1 = 0.4771 + 3(0.3010) - 1 = 0.4771 + 0.9030 - 1 = 1.3801-1 = 0.3801$

$0.3801 < 0.3950$ なので、$2.4 < 10^{0.395}$.

よって、$2.4 < 10^{0.395} < 2.5$ なので、最高位の数字は2です。

(2) $(\frac{1}{5})^{105}$ の小数第何位に初めて0でない数が現れるか求める。

$(\frac{1}{5})^{105} = 5^{-105}$ の常用対数をとります。

$\log_{10} 5^{-105} = -105 \log_{10} 5 = -105(1 - \log_{10} 2) = -105(1 - 0.3010) = -105 \times 0.6990 = -73.395$

したがって、$(\frac{1}{5})^{105} = 10^{-73.395} = 10^{-74} \times 10^{0.605}$

小数第何位に初めて0でない数が現れるかは、-73.395の整数部分を-nとおくと、小数第n位に初めて0でない数字が現れます。

$\log_{10} (\frac{1}{5})^{105} = -73.395$なので、小数第74位に初めて0でない数字が現れます。

3. 最終的な答え

(1) $5^{105}$ は74桁の整数であり、最高位の数字は2である。

(2) $(\frac{1}{5})^{105}$ は小数第74位に初めて0でない数が現れる。