20の倍数で、正の約数の個数が15個である自然数nをすべて求めよ。

1. 問題の内容

20の倍数で、正の約数の個数が15個である自然数nをすべて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、20を素因数分解すると、 $20 = 2^2 \cdot 5$ となります。

したがって、求める自然数nは $2^2$ と $5$ を因数に持つ必要があります。

nの約数の個数が15個であることから、nの素因数分解の形を考えます。約数の個数が15であるためには、素因数分解したときの指数に1を足したものの積が15になれば良いです。

15を積の形で表すと、$15 = 15$ または $15 = 3 \cdot 5$ となります。

(i) $n = p^{14}$ (pは素数) の場合

nが20の倍数であるという条件を満たさないので不適。

(ii) $n = p^2 q^4$ (p, qは異なる素数) の場合

nは20の倍数なので、$n = 2^a \cdot 5^b \cdot r^c$ の形で表され、少なくとも $a \ge 2$ かつ $b \ge 1$ である必要があります。

考えられるパターンは以下の通りです。

(a) $n = 2^4 \cdot 5^2 = 16 \cdot 25 = 400$

これは20の倍数であり、約数の個数は$(4+1)(2+1) = 5 \cdot 3 = 15$個です。

(b) $n = 2^2 \cdot 5^4 = 4 \cdot 625 = 2500$

これは20の倍数であり、約数の個数は$(2+1)(4+1) = 3 \cdot 5 = 15$個です。

(c) $n = 5^2 \cdot 2^4 = 25 \cdot 16 = 400$ これは(a)と同じ。

(d) $n = p^4 \cdot 2^2$ の形は、$p = 5$ のとき、$n = 5^4 \cdot 2^2 = 2500$ となり、すでに求めたものと重複します。

(e) $n = p^4 \cdot 5^2$ の形は、$p = 2$ のとき、$n = 2^4 \cdot 5^2 = 400$ となり、すでに求めたものと重複します。

3. 最終的な答え

400, 2500