奇数の数列 ${a_n}$ があり、それを第 $n$ 群に $n$ 個の項を含むように分割する。 (1) 第10群の3番目の数を求める。 (2) 第 $n$ 群の最後の数を求める。 (3) 第 $n$ 群の最初の数を求める。 (4) 777が第何群の何番目の数か。 (5) 第 $n$ 群にある数の総和を求める。 (6) 第1群から第 $n$ 群にある数の総和を求める。

1. 問題の内容

奇数の数列 ${a_n}$ があり、それを第 $n$ 群に $n$ 個の項を含むように分割する。

(1) 第10群の3番目の数を求める。

(2) 第 $n$ 群の最後の数を求める。

(3) 第 $n$ 群の最初の数を求める。

(4) 777が第何群の何番目の数か。

(5) 第 $n$ 群にある数の総和を求める。

(6) 第1群から第 $n$ 群にある数の総和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第10群の3番目の数を求める。

まず、第9群までの項数を求める。それは $1+2+3+\dots+9 = \frac{9(9+1)}{2} = 45$ 項である。

したがって、第10群の3番目の数は、数列全体の48番目の奇数である。

数列 ${a_n}$ の一般項は $a_n = 2n-1$ なので、48番目の奇数は $2(48)-1 = 96-1 = 95$ である。

(2) 第 $n$ 群の最後の数を求める。

第 $n$ 群までの項数は $1+2+3+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}$ 項である。

したがって、第 $n$ 群の最後の数は、数列全体の $\frac{n(n+1)}{2}$ 番目の奇数である。

よって、求める数は $2\left(\frac{n(n+1)}{2}\right) - 1 = n(n+1) - 1 = n^2 + n - 1$ である。

(3) 第 $n$ 群の最初の数を求める。

第 $(n-1)$ 群までの項数は $1+2+3+\dots+(n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$ 項である。

したがって、第 $n$ 群の最初の数は、数列全体の $\frac{(n-1)n}{2} + 1$ 番目の奇数である。

よって、求める数は $2\left(\frac{(n-1)n}{2} + 1\right) - 1 = (n-1)n + 2 - 1 = n^2 - n + 1$ である。

(4) 777が第何群の何番目の数か。

$2k-1 = 777$ とすると、 $2k = 778$ より $k = 389$ である。

777は数列全体の389番目の奇数である。

第 $n$ 群までの項数の和が389を超える最小の $n$ を求める。

$\frac{n(n+1)}{2} > 389$ を満たす最小の $n$ を求める。

$n(n+1) > 778$ となる。

$27 \times 28 = 756 < 778$

$28 \times 29 = 812 > 778$

したがって、第28群までで756項ある。

777は第29群にある。

$389 - 756/2 = 389-378 = 11$

777は第28群の最後の項より$389- \frac{27(27+1)}{2} = 389 - 378=11$番目の数である。

したがって、777は第29群の11番目の数である。

(5) 第 $n$ 群にある数の総和を求める。

第 $n$ 群の最初の数は $n^2 - n + 1$ であり、最後の数は $n^2 + n - 1$ である。

第 $n$ 群には $n$ 個の数がある。

第 $n$ 群の和は、等差数列の和の公式より、

$\frac{n}{2} \left( (n^2 - n + 1) + (n^2 + n - 1) \right) = \frac{n}{2} (2n^2) = n^3$ である。

(6) 第1群から第 $n$ 群にある数の総和を求める。

第 $k$ 群の総和は $k^3$ である。

したがって、第1群から第 $n$ 群までの総和は $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ である。

3. 最終的な答え

(1) 95

(2) $n^2 + n - 1$

(3) $n^2 - n + 1$

(4) 第29群の11番目

(5) $n^3$

(6) $\frac{n^2(n+1)^2}{4}$