(1) 整数 $m$ に対して、$m^2$ を4で割った余りは0または1であることを示す。 (2) 自然数 $n, k$ が $25 \times 3^n = k^2 + 176$ を満たすとき、$n$ は偶数であることを示す。 (3) (2)の関係式を満たす自然数の組 $(n, k)$ をすべて求める。

1. 問題の内容

(1) 整数 $m$ に対して、$m^2$ を4で割った余りは0または1であることを示す。

(2) 自然数 $n, k$ が $25 \times 3^n = k^2 + 176$ を満たすとき、$n$ は偶数であることを示す。

(3) (2)の関係式を満たす自然数の組 $(n, k)$ をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) 整数 $m$ を4で割った余りで分類する。

$m = 4q$ のとき、$m^2 = (4q)^2 = 16q^2 = 4(4q^2)$ より、 $m^2$ を4で割った余りは0。

$m = 4q + 1$ のとき、$m^2 = (4q + 1)^2 = 16q^2 + 8q + 1 = 4(4q^2 + 2q) + 1$ より、$m^2$ を4で割った余りは1。

$m = 4q + 2$ のとき、$m^2 = (4q + 2)^2 = 16q^2 + 16q + 4 = 4(4q^2 + 4q + 1)$ より、$m^2$ を4で割った余りは0。

$m = 4q + 3$ のとき、$m^2 = (4q + 3)^2 = 16q^2 + 24q + 9 = 4(4q^2 + 6q + 2) + 1$ より、$m^2$ を4で割った余りは1。

よって、整数 $m$ に対して、$m^2$ を4で割った余りは0または1。

(2) $25 \times 3^n = k^2 + 176$ を変形すると、$25 \times 3^n - k^2 = 176$。

この式を4で割った余りを考える。

$k^2$ を4で割った余りは0または1なので、$-k^2$ を4で割った余りは0または3。

$176 = 4 \times 44$ より、176を4で割った余りは0。

したがって、$25 \times 3^n$ を4で割った余りは0または3。

$25 \equiv 1 \pmod{4}$ であるから、$3^n$ を4で割った余りは0または3。

$3 \equiv -1 \pmod{4}$ なので、$3^n \equiv (-1)^n \pmod{4}$。

$n$ が奇数のとき、$3^n \equiv -1 \equiv 3 \pmod{4}$。

$n$ が偶数のとき、$3^n \equiv 1 \pmod{4}$。

もし、$n$ が奇数ならば、$3^n$ を4で割った余りは3であるから、$25 \times 3^n - k^2$ を4で割った余りは $1\times 3 - 0 = 3$ または $1 \times 3 - 1 = 2$ となる。これは、$25 \times 3^n - k^2 = 176$ が4で割り切れることと矛盾する。

したがって、$n$ は偶数。

(3) $n$ は偶数であるから、$n = 2m$ （$m$ は自然数）とおける。

$25 \times 3^{2m} = k^2 + 176$ より、

$25 \times (3^m)^2 - k^2 = 176$

$(5 \times 3^m)^2 - k^2 = 176$

$(5 \times 3^m - k)(5 \times 3^m + k) = 176 = 2^4 \times 11$

$5 \times 3^m + k > 0$ なので、$5 \times 3^m - k > 0$ である。

また、$5 \times 3^m + k > 5 \times 3^m - k$ である。

さらに、$5 \times 3^m + k$ と $5 \times 3^m - k$ は偶奇が一致する。

$176 = 2^4 \times 11$ なので、$5 \times 3^m + k$ と $5 \times 3^m - k$ はどちらも偶数。

$176 = 2 \times 88 = 4 \times 44 = 8 \times 22 = 16 \times 11$

$5 \times 3^m + k > 5 \times 3^m - k$ より、ありうる組み合わせは、

(i) $5 \times 3^m - k = 2$, $5 \times 3^m + k = 88$

(ii) $5 \times 3^m - k = 4$, $5 \times 3^m + k = 44$

(iii) $5 \times 3^m - k = 8$, $5 \times 3^m + k = 22$

(i) のとき、$10 \times 3^m = 90$ より、$3^m = 9 = 3^2$ なので、$m = 2$。このとき、$n = 2m = 4$。また、$k = 88 - 5 \times 9 = 88 - 45 = 43$。

(ii) のとき、$10 \times 3^m = 48$ より、$3^m = 4.8$。これは整数にならないので不適。

(iii) のとき、$10 \times 3^m = 30$ より、$3^m = 3^1$ なので、$m = 1$。このとき、$n = 2m = 2$。また、$k = 22 - 5 \times 3 = 22 - 15 = 7$。

よって、$(n, k) = (2, 7), (4, 43)$.

3. 最終的な答え

(1) 整数 $m$ に対して、$m^2$ を4で割った余りは0または1である（証明終）。

(2) 自然数 $n, k$ が $25 \times 3^n = k^2 + 176$ を満たすとき、$n$ は偶数である（証明終）。

(3) (2)の関係式を満たす自然数の組 $(n, k)$ は $(2, 7), (4, 43)$.