自然数 $N$ を5進法で表すと3桁の数 $abc_{(5)}$ となり、7進法で表すと3桁の数 $cab_{(7)}$ となる。このとき、自然数 $N$ と、整数 $a, b, c$ を求める問題である。

1. 問題の内容

自然数 $N$ を5進法で表すと3桁の数 $abc_{(5)}$ となり、7進法で表すと3桁の数 $cab_{(7)}$ となる。このとき、自然数 $N$ と、整数 $a, b, c$ を求める問題である。

2. 解き方の手順

(1) $abc_{(5)} = cab_{(7)}$ を10進法で表すと、

$25a + 5b + c = 49c + 7b + a$

整理すると $24a - 2b - 48c = 0$

両辺を2で割ると $12a - b - 24c = 0$

よって、 $9a + 2b - 24c = -3a +4b$となるので、

$9a + b - 24c=0$となります。したがって、$9a+2b-24c=0$となります。

(2) $9a+2b-24c=0$を変形すると

$2b = 24c - 9a = 3(8c - 3a)$

$2b = 3(8c - 3a)$

(3) $2b = 3(8c - 3a)$より、$b$ は3の倍数である。

$a, b, c$ は5進数、7進数で用いられる数字なので、$0$ 以上 $4$ 以下の整数、$0$ 以上 $6$ 以下の整数である。

$b=0$ または $b=3$

ここで、$a \neq 0$ かつ $c \neq 0$ であることに注意する。

$b = 0$とすると、$8c = 3a$である。$a, c$ は整数なので、$c$ は3の倍数、 $a$ は8の倍数となる。$a \le 4$なので矛盾する。

よって $b = 3$

$2 \cdot 3 = 3(8c - 3a)$

$2 = 8c - 3a$

$3a = 8c - 2$

$c=1$ のとき $3a = 6$ より $a = 2$

$c=2$ のとき $3a = 14$ となり、$a$ が整数にならない。

したがって $a=2, b=3, c=1$

$N = 231_{(5)} = 2 \cdot 25 + 3 \cdot 5 + 1 = 50 + 15 + 1 = 66$

3. 最終的な答え

- ウ: 9

- エ: 24

- オ: 3

- カ: 8

- キ: 3

- ク: 3

- ケ: 2

- コ: 1

- サ: 66