奇数の数列 1, 3, 5, ... を、第 $n$ 群が $n$ 個の奇数を含むように分ける。 (1) 第10群の最初の数を求めよ。 (2) 第8群の数の和を求めよ。 (3) 999 は第何群の第何番目の数であるか。

1. 問題の内容

奇数の数列 1, 3, 5, ... を、第 $n$ 群が $n$ 個の奇数を含むように分ける。

(1) 第10群の最初の数を求めよ。

(2) 第8群の数の和を求めよ。

(3) 999 は第何群の第何番目の数であるか。

2. 解き方の手順

(1) 第10群の最初の数を求める。

まず、第 $n$ 群の最初の数は、それまでの群に含まれる奇数の個数の総和に1を加えた番号の奇数である。第 $n$ 群までの奇数の個数の総和は、

$1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$

したがって、第 $n$ 群の最初の奇数は、全体で$\frac{(n-1)n}{2} + 1$番目の奇数である。

$k$ 番目の奇数は $2k-1$ であるから、第 $n$ 群の最初の数は

$2(\frac{(n-1)n}{2} + 1) - 1 = n(n-1) + 2 - 1 = n^2 - n + 1$

したがって、第10群の最初の数は、$10^2 - 10 + 1 = 100 - 10 + 1 = 91$

(2) 第8群の数の和を求める。

第8群に含まれる奇数は8個である。第8群の最初の数は、(1)と同様に考えて $8^2 - 8 + 1 = 64 - 8 + 1 = 57$ である。

第8群に含まれる奇数は、57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71 である。

これらの和は、等差数列の和の公式を用いて計算できる。

初項 $a = 57$, 末項 $l = 71$, 項数 $n = 8$ の等差数列の和は、

$S = \frac{n(a+l)}{2} = \frac{8(57+71)}{2} = \frac{8(128)}{2} = 4 \times 128 = 512$

(3) 999 が第何群の第何番目の数であるかを求める。

まず、999 が何番目の奇数であるかを求める。

$2k-1 = 999$ より、 $2k = 1000$, $k = 500$。つまり、999 は500番目の奇数である。

次に、第 $n$ 群までに含まれる奇数の個数の総和が 500 に最も近い $n$ を求める。

$\frac{n(n+1)}{2}$ が 500 に近い $n$ を探す。

$n(n+1) \approx 1000$ なので、$n \approx \sqrt{1000} \approx 31.6$。

$n = 31$ のとき、$\frac{31 \times 32}{2} = 31 \times 16 = 496$。

$n = 32$ のとき、$\frac{32 \times 33}{2} = 16 \times 33 = 528$。

したがって、999 は第32群に含まれる。

第31群までに496個の奇数が含まれているので、999 は第32群の $500 - 496 = 4$ 番目の数である。

3. 最終的な答え

(1) 91

(2) 512

(3) 第32群の第4番目