$m$, $n$ は自然数である。次の命題とその対偶の真偽を調べ、それらが一致することを確認する。 (1) $m$ は $4$ の倍数 $\Rightarrow$ $m$ は偶数 (2) $m+n$ は偶数 $\Rightarrow$ $m$ は偶数または $n$ は偶数

1. 問題の内容

$m$, $n$ は自然数である。次の命題とその対偶の真偽を調べ、それらが一致することを確認する。

(1) $m$ は $4$ の倍数 $\Rightarrow$ $m$ は偶数

(2) $m+n$ は偶数 $\Rightarrow$ $m$ は偶数または $n$ は偶数

2. 解き方の手順

(1)

元の命題: $m$ は $4$ の倍数 $\Rightarrow$ $m$ は偶数

対偶: $m$ は奇数 $\Rightarrow$ $m$ は $4$ の倍数ではない

元の命題について: $m$ が $4$ の倍数ならば、$m = 4k$ (kは自然数) と表せる。このとき、$m = 2(2k)$ となり、$m$ は偶数である。よって、元の命題は真である。

対偶について: $m$ が奇数ならば、$m = 2k+1$ (kは整数) と表せる。このとき、$m$ は $4$ の倍数ではない。なぜなら、$4k$または$4k+2$の形にならないからである。よって、対偶も真である。

(2)

元の命題: $m+n$ は偶数 $\Rightarrow$ $m$ は偶数または $n$ は偶数

対偶: $m$ は奇数 かつ $n$ は奇数 $\Rightarrow$ $m+n$ は奇数

元の命題について:

$m+n$ が偶数であるとき、$m+n = 2k$ (kは自然数) と表せる。$m$ と $n$ が両方とも奇数である場合、$m = 2a+1$, $n = 2b+1$ (a, bは整数) と表せる。このとき、$m+n = (2a+1) + (2b+1) = 2a+2b+2 = 2(a+b+1)$ となり、$m+n$ は偶数となる。$m$ と $n$ が両方とも偶数である場合、$m = 2a$, $n = 2b$ と表せる。このとき、$m+n = 2a+2b = 2(a+b)$ となり、$m+n$ は偶数となる。$m$ が偶数で $n$ が奇数の場合、$m+n$ は奇数となる。$m$ が奇数で $n$ が偶数の場合、$m+n$ は奇数となる。したがって、$m+n$が偶数であれば、$m$と$n$が両方偶数か両方奇数である必要がある。よって、元の命題は真である。

対偶について: $m$ が奇数 かつ $n$ が奇数ならば、$m = 2a+1$, $n = 2b+1$ (a, bは整数) と表せる。このとき、$m+n = (2a+1)+(2b+1) = 2a+2b+2 = 2(a+b+1)$ となり、$m+n$ は偶数である。したがって、対偶は偽である。

元の命題が真であるか、対偶が真であるかのどちらかになります。

$m+n$は偶数ならば、$m$と$n$は両方とも偶数か両方とも奇数である必要があります。よって、$m$は偶数または$n$は偶数という命題は真です。

$m$と$n$が両方とも奇数ならば、$m+n$は偶数になるので、$m+n$は奇数であるという対偶は偽です。

3. 最終的な答え

(1)

元の命題：真

対偶：真

(2)

元の命題：真

対偶：偽