$a, b$ は実数であるとき、命題「$a+b$ は無理数 $\implies$ $a, b$ の少なくとも一方は無理数」の真偽を判定する問題です。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数であるとき、命題「$a+b$ は無理数 $\implies$ $a, b$ の少なくとも一方は無理数」の真偽を判定する問題です。

2. 解き方の手順

この命題の真偽を判定するために、対偶を考えます。元の命題が真であることと対偶が真であることは同値です。

元の命題は「$a+b$ は無理数ならば、$a, b$ の少なくとも一方は無理数」です。

この命題の対偶は「$a, b$ がともに有理数ならば、$a+b$ は有理数」です。

$a$ と $b$ が有理数であると仮定すると、有理数の定義から、それぞれ分数 $\frac{p}{q}$ と $\frac{r}{s}$ （$p, q, r, s$ は整数、$q, s \neq 0$）で表すことができます。

したがって、$a+b = \frac{p}{q} + \frac{r}{s} = \frac{ps+qr}{qs}$ となります。

$ps+qr$ も $qs$ も整数であり、$qs \neq 0$ なので、$a+b$ は有理数です。

したがって、対偶「$a, b$ がともに有理数ならば、$a+b$ は有理数」は真です。

元の命題の対偶が真であるため、元の命題も真です。

3. 最終的な答え

真