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$\sqrt{2}$が無理数であることを用いて、$1 + 3\sqrt{2}$ が無理数であることを証明します。

数論無理数有理数背理法代数的数
2025/7/23

1. 問題の内容

2\sqrt{2}が無理数であることを用いて、1+321 + 3\sqrt{2} が無理数であることを証明します。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。
1+321 + 3\sqrt{2}が有理数であると仮定します。すると、1+32=r1 + 3\sqrt{2} = r（rrは有理数）と表すことができます。
この式を変形して2\sqrt{2}について解きます。
32=r−13\sqrt{2} = r - 1
2=r−13\sqrt{2} = \frac{r - 1}{3}
rrが有理数であると仮定したので、r−1r-1も有理数であり、r−13\frac{r-1}{3}も有理数です。
これは、2\sqrt{2}が有理数であるということを意味し、2\sqrt{2}が無理数であるという仮定に矛盾します。
したがって、1+321 + 3\sqrt{2}は無理数でなければなりません。

3. 最終的な答え

1+321 + 3\sqrt{2}は無理数である。

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