## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

問題2は、整数 $x, y$ が一次不定方程式 $5x + 2y = 7^n$ を満たすときの性質について考察する問題です。具体的には、

(1) 与えられた方程式の整数解をすべて求め、

(2) $x$ と $y$ が互いに素でないならば、$x$ と $y$ はともに $7$ の倍数であることを示し、

(3) $x \geq 0$ かつ $y \geq 0$ を満たす整数の組 $(x, y)$ のうち、$x$ と $y$ が互いに素であるものの個数を $p_n$ とするとき、$\lim_{n \to \infty} \frac{p_n}{7^n}$ を求める、という3つの小問から構成されています。

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2. 解き方の手順

**(1) 与えられた方程式の整数解をすべて求める**

まず、$5x + 2y = 7^n$ の特殊解を求めます。$x = 7^{n-1}, y = 7^{n-1}$ とすると $5 \cdot 7^{n-1} + 2 \cdot 7^{n-1} = 7 \cdot 7^{n-1} = 7^n$ なので、$(x, y) = (7^{n-1}, 7^{n-1})$ は解の一つです。

次に、一般解を求めます。$5x + 2y = 7^n$ より、

$5x + 2y = 5 \cdot 7^{n-1} + 2 \cdot 7^{n-1}$

$5(x - 7^{n-1}) = -2(y - 7^{n-1})$

$5$ と $2$ は互いに素なので、$x - 7^{n-1} = 2k$ となる整数 $k$ が存在します。このとき、$y - 7^{n-1} = -5k$ となります。

したがって、一般解は

$x = 7^{n-1} + 2k$

$y = 7^{n-1} - 5k$

となります。（$k$は任意の整数）

**(2) xとyが互いに素でないならば、xとyはともに7の倍数であることを示す**

$x = 7^{n-1} + 2k$, $y = 7^{n-1} - 5k$ とします。

$x$ と $y$ が互いに素でないと仮定します。すると、ある素数 $p$ が存在して、$x$ も $y$ も $p$ で割り切れます。

$x$ と $y$ の差を考えると、$x - y = (7^{n-1} + 2k) - (7^{n-1} - 5k) = 7k$ となります。

$x$ と $y$ が $p$ で割り切れるならば、$x - y$ も $p$ で割り切れるので、$7k$ は $p$ で割り切れます。

したがって、$p = 7$ または $k$ が $p$ で割り切れるかのいずれかです。

(i) $p = 7$ のとき、$x = 7^{n-1} + 2k$ が7の倍数であるためには、$2k$が7の倍数でなければなりません。$2$ と $7$ は互いに素なので、$k$ は 7 の倍数である必要があります。$k = 7l$ とおくと、$x = 7^{n-1} + 14l = 7(7^{n-2} + 2l)$ であり、$y = 7^{n-1} - 35l = 7(7^{n-2} - 5l)$ となります。よって、$x$ も $y$ も $7$ の倍数です。

(ii) $k$ が $p$ で割り切れるとき、$p$ は $7$ と異なる素数であるとします。$k = pm$ とおくと、$x = 7^{n-1} + 2pm$ は $p$ で割り切れるので、$7^{n-1}$ は $p$ で割り切れる必要があります。これは、$p$ が $7$ と異なる素数であることに矛盾します。

したがって、$x$ と $y$ が互いに素でないならば、$x$ と $y$ はともに $7$ の倍数であることが示されました。

**(3) 極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{p_n}{7^n}$ を求める**

$x \geq 0, y \geq 0$ を満たす整数の組 $(x, y)$ を考えます。

$x = 7^{n-1} + 2k \geq 0 \Leftrightarrow k \geq -\frac{7^{n-1}}{2}$

$y = 7^{n-1} - 5k \geq 0 \Leftrightarrow k \leq \frac{7^{n-1}}{5}$

したがって、$-\frac{7^{n-1}}{2} \leq k \leq \frac{7^{n-1}}{5}$ となります。$k$ は整数なので、取りうる $k$ の個数は、

$\lfloor \frac{7^{n-1}}{5} \rfloor - \lceil -\frac{7^{n-1}}{2} \rceil + 1 = \lfloor \frac{7^{n-1}}{5} \rfloor + \lfloor \frac{7^{n-1}}{2} \rfloor + 1$ となります。

$x$ と $y$ が互いに素であるための条件は、上記のすべての解から、$x$ と $y$ がともに7の倍数となる解を除外することです。

$x$ と $y$ がともに7の倍数であるとき、$x = 7(7^{n-2} + 2l) \geq 0 \Leftrightarrow l \geq -\frac{7^{n-2}}{2}$

$y = 7(7^{n-2} - 5l) \geq 0 \Leftrightarrow l \leq \frac{7^{n-2}}{5}$

したがって、$l$ の取りうる個数は、$\lfloor \frac{7^{n-2}}{5} \rfloor + \lfloor \frac{7^{n-2}}{2} \rfloor + 1$ となります。

$x \ge 0$ かつ $y \ge 0$ となる整数の組の総数を$N_n$とすると、

$N_n = \lfloor \frac{7^{n-1}}{5} \rfloor + \lfloor \frac{7^{n-1}}{2} \rfloor + 1$

$x$と$y$が互いに素な整数の組の個数を$p_n$とすると、

$p_n = \lfloor \frac{7^{n-1}}{5} \rfloor + \lfloor \frac{7^{n-1}}{2} \rfloor + 1 - (\lfloor \frac{7^{n-2}}{5} \rfloor + \lfloor \frac{7^{n-2}}{2} \rfloor + 1)$

$n$ が大きくなるにつれて、整数部分を無視できるので、

$N_n \approx \frac{7^{n-1}}{5} + \frac{7^{n-1}}{2} = \frac{12}{10} 7^{n-1} = \frac{6}{35} 7^n$

$N_{n-1} \approx \frac{7^{n-2}}{5} + \frac{7^{n-2}}{2} = \frac{12}{10} 7^{n-2} = \frac{6}{245} 7^n$

$p_n = N_n - N_{n-1} = \frac{6}{35} 7^n - \frac{6}{245} 7^n = \frac{42 - 6}{245} 7^n = \frac{36}{245} 7^n$

$\lim_{n \to \infty} \frac{p_n}{7^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{36}{245} 7^n}{7^n} = \frac{36}{245}$

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3. 最終的な答え

(1) $(x, y) = (7^{n-1} + 2k, 7^{n-1} - 5k)$ (kは任意の整数)

(2) 証明は上記参照

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{p_n}{7^n} = \frac{36}{245}$