(1) 1000から9999までの4桁の自然数のうち、ちょうど2種類の数字から成り立っているものの個数を求めよ。 (2) $n$ 桁の自然数のうち、ちょうど2種類の数字から成り立っているものの個数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 1000から9999までの4桁の自然数のうち、ちょうど2種類の数字から成り立っているものの個数を求めよ。

(2) $n$ 桁の自然数のうち、ちょうど2種類の数字から成り立っているものの個数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、4桁の数字に使われる2種類の数字を選ぶ。10個の数字（0から9）から2個を選ぶ組み合わせは$_{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$通り。

ただし、1000以上の4桁の数字なので、千の位には0を使うことができない。

選んだ2つの数字のうち、0が含まれない場合は、2つの数字の選び方は$_{9}C_2 = \frac{9 \times 8}{2} = 36$通り。この場合、4桁の数字を作る方法は$2^4 - 2 = 14$通り。（$2^4$は各桁に2つの数字のどちらかを入れる方法で、そこから2つとも同じ数字の場合を引く）。したがって、この場合の数は $36 \times 14 = 504$。

選んだ2つの数字のうち、0が含まれる場合、2つの数字の選び方は9通り（0と1, 0と2, ..., 0と9）。千の位は0ではないので、千の位の数字は0でない数字に確定する。残り3つの桁は0または0でない数字を入れることができるので、$2^3 = 8$通り。しかし、3つの桁全てが0でない数字の場合を除く必要がある。つまり$8 - 1 = 7$通り。

したがって、この場合の数は $9 \times 7 = 63$。

よって、合計の個数は$504 + 63 = 567$。

(2)

$n$桁の自然数で、ちょうど2種類の数字から成り立っているものを求める。

2種類の数字を選ぶ方法は$_{10}C_2 = 45$通り。

ただし、$n$桁の自然数なので、一番上の桁には0を使うことができない。

選んだ2つの数字のうち、0が含まれない場合は、2つの数字の選び方は$_{9}C_2 = 36$通り。この場合、$n$桁の数字を作る方法は$2^n - 2$通り。（$2^n$は各桁に2つの数字のどちらかを入れる方法で、そこから2つとも同じ数字の場合を引く）。したがって、この場合の数は $36(2^n - 2)$。

選んだ2つの数字のうち、0が含まれる場合、2つの数字の選び方は9通り。一番上の桁は0ではないので、一番上の桁の数字は0でない数字に確定する。残り$n-1$個の桁は0または0でない数字を入れることができるので、$2^{n-1}$通り。しかし、$n-1$個の桁全てが0でない数字の場合を除く必要がある。つまり$2^{n-1} - 1$通り。

したがって、この場合の数は $9(2^{n-1} - 1)$。

よって、合計の個数は$36(2^n - 2) + 9(2^{n-1} - 1) = 36 \times 2^n - 72 + 9 \times 2^{n-1} - 9 = 36 \times 2^n + \frac{9}{2} \times 2^n - 81 = (36 + \frac{9}{2})2^n - 81 = \frac{81}{2} 2^n - 81 = 81(2^{n-1} - 1)$。

3. 最終的な答え

(1) 567

(2) $81(2^{n-1} - 1)$