$n$を整数とする。$\frac{n^2 + 2}{2n + 1}$ が整数となるような $n$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

$n$を整数とする。$\frac{n^2 + 2}{2n + 1}$ が整数となるような $n$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式$\frac{n^2 + 2}{2n + 1}$を整数にしたい。

まず、分子を分母で割ることを考えます。ただし、直接割る代わりに、$4(n^2 + 2)$を$2n+1$で割ることを考えます。

$4(n^2+2) = (2n+1)(2n-1) + 9$

なので、

$\frac{n^2 + 2}{2n+1} = \frac{4(n^2 + 2)}{4(2n+1)} = \frac{(2n+1)(2n-1) + 9}{4(2n+1)} = \frac{2n-1}{4} + \frac{9}{4(2n+1)}$

与えられた式が整数であるためには、$\frac{2n-1}{4} + \frac{9}{4(2n+1)}$が整数でなければなりません。

これは、$\frac{2n-1}{4} = \frac{2n+1 - 2}{4} = \frac{2n+1}{4} - \frac{1}{2}$より

$\frac{n^2 + 2}{2n+1} = \frac{2n-1}{4} + \frac{9}{4(2n+1)} = \frac{2n+1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{9}{4(2n+1)} = \frac{1}{4}(2n+1 + \frac{9}{2n+1}) - \frac{1}{2}$

$2n+1$は整数であり、$\frac{n^2 + 2}{2n+1}$が整数であるためには、$2n+1 + \frac{9}{2n+1}$は偶数でなければなりません。

また、$\frac{9}{2n+1}$が整数でなければなりません。

そのため、$2n+1$は9の約数である必要があります。9の約数は$\pm1, \pm3, \pm9$です。

したがって、$2n+1$が取りうる値は、

$2n+1 = 1 \implies n = 0$

$2n+1 = -1 \implies n = -1$

$2n+1 = 3 \implies n = 1$

$2n+1 = -3 \implies n = -2$

$2n+1 = 9 \implies n = 4$

$2n+1 = -9 \implies n = -5$

$n = 0$のとき、$\frac{n^2+2}{2n+1} = \frac{2}{1} = 2$

$n = -1$のとき、$\frac{n^2+2}{2n+1} = \frac{1+2}{-2+1} = \frac{3}{-1} = -3$

$n = 1$のとき、$\frac{n^2+2}{2n+1} = \frac{1+2}{2+1} = \frac{3}{3} = 1$

$n = -2$のとき、$\frac{n^2+2}{2n+1} = \frac{4+2}{-4+1} = \frac{6}{-3} = -2$

$n = 4$のとき、$\frac{n^2+2}{2n+1} = \frac{16+2}{8+1} = \frac{18}{9} = 2$

$n = -5$のとき、$\frac{n^2+2}{2n+1} = \frac{25+2}{-10+1} = \frac{27}{-9} = -3$

いずれの場合も整数となる。

3. 最終的な答え

$n = -5, -2, -1, 0, 1, 4$