数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が与えられ、それらに共通して現れる数を小さい順に並べた数列 $\{c_n\}$ を考える問題です。特に、$\{c_n\}$ の一般項を求め、$\sum_{k=1}^n c_k \ge 20000$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めることが目的です。$a_n = \text{ク}n - \text{ケ}$、$b_n = \text{サ}$ から始まり、空欄を埋めていく形式です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が与えられ、それらに共通して現れる数を小さい順に並べた数列 $\{c_n\}$ を考える問題です。特に、$\{c_n\}$ の一般項を求め、$\sum_{k=1}^n c_k \ge 20000$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めることが目的です。$a_n = \text{ク}n - \text{ケ}$、$b_n = \text{サ}$ から始まり、空欄を埋めていく形式です。

2. 解き方の手順

(i) $a_n = 5n-4$、$b_n = 2^n$ なので、$a_1 = 1$, $a_2=6$, $a_3=11$, $a_4=16$, $a_5=21$, $a_6=26$, $a_7=31$, $a_8=36$, $b_1=2$, $b_2=4$, $b_3=8$, $b_4=16$, $b_5=32$。共通項を小さい順に並べると $c_1 = 1$, $c_2=16$ です。

よって、セ=1、ソ=1、タ=16。

(ii) 数列 $\{a_n\}$ は、5で割ったときの余りが1となる正の整数を小さい順に並べた数列です。

よって、イ=5、チ=1。

$b_n$ を 5 で割ったときの余りを $r_n$ とすると、数列 $\{b_n\}$ の項 $b_k$ が数列 $\{c_n\}$ の項として現れるための必要十分条件は、$r_k = 1$ かつ $b_k > 0$ である。

$r_1 = 2$, $r_2 = 4$, $r_3 = 3$, $r_4 = 1$, $r_5 = 2$.

$r_{n+4} = r_n$ となります。 よって、ヌ=r_{n+4}。

$c_n = b_{4n-3} = 2^{4n-3}$ となります。

(iii) $\sum_{k=1}^n c_k = \sum_{k=1}^n 2^{4k-3} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{8} (2^4)^k = \frac{1}{8} \sum_{k=1}^n 16^k = \frac{1}{8} \cdot \frac{16(16^n-1)}{16-1} = \frac{2}{15} (16^n-1)$.

$\frac{2}{15}(16^n-1) \ge 20000$ を満たす最小の $n$ を求めます。

$16^n - 1 \ge 150000$, $16^n \ge 150001$.

$16^1 = 16$, $16^2 = 256$, $16^3 = 4096$, $16^4 = 65536$, $16^5 = 1048576$.

したがって、$n=5$ が最小の自然数です。

3. 最終的な答え

セ = 1

ソ = 1

タ = 16

イ = 5

チ = 1

ツ = 2

テ = 4

ト = 3

ナ = 1

ニ = 2

ヌ = r_{n+4}

ネ = 4

ノ = 3

ハ = 5