問題1：整数$a$を7で割ると3余り、整数$b$を7で割ると4余るとき、$ab$を7で割った余りを求める。 問題2：1次不定方程式$2x - 7y = 1$を満たす整数$x, y$の中で、$y$が最大の負の数となるときの$x$の値を求める。

1. 問題の内容

問題1：整数$a$を7で割ると3余り、整数$b$を7で割ると4余るとき、$ab$を7で割った余りを求める。

問題2：1次不定方程式$2x - 7y = 1$を満たす整数$x, y$の中で、$y$が最大の負の数となるときの$x$の値を求める。

2. 解き方の手順

問題1：

$a$を7で割ると3余るので、$a = 7k + 3$（$k$は整数）と表せる。

$b$を7で割ると4余るので、$b = 7l + 4$（$l$は整数）と表せる。

$ab = (7k + 3)(7l + 4) = 49kl + 28k + 21l + 12 = 7(7kl + 4k + 3l + 1) + 5$

したがって、$ab$を7で割った余りは5である。

問題2：

1次不定方程式$2x - 7y = 1$を解く。

まず、特殊解を見つける。$x=4$, $y=1$が解の一つである。

$2(4) - 7(1) = 1$

与えられた方程式から特殊解を引くと、

$2x - 7y - (2(4) - 7(1)) = 1 - 1$

$2(x - 4) - 7(y - 1) = 0$

$2(x - 4) = 7(y - 1)$

2と7は互いに素なので、$x - 4 = 7n$、$y - 1 = 2n$（$n$は整数）と表せる。

よって、$x = 7n + 4$、$y = 2n + 1$

$y$が最大の負の数となるのは、$y < 0$かつ$y$が最も0に近いときである。

$2n + 1 < 0$より、$2n < -1$、$n < -0.5$

$n$は整数なので、$n = -1$

このとき、$x = 7(-1) + 4 = -3$、$y = 2(-1) + 1 = -1$

したがって、$y$が最大の負の数となるときの$x$の値は-3である。

3. 最終的な答え

問題1の答え：5

問題2の答え：-3