(1) 2桁の自然数について、各位の数の和が3の倍数ならば、この自然数は3の倍数であることを説明する。 (2) 3桁の自然数について、各位の数の和が9の倍数ならば、この自然数は9の倍数であることを説明する。

1. 問題の内容

(1) 2桁の自然数について、各位の数の和が3の倍数ならば、この自然数は3の倍数であることを説明する。

(2) 3桁の自然数について、各位の数の和が9の倍数ならば、この自然数は9の倍数であることを説明する。

2. 解き方の手順

(1) 2桁の自然数の場合：

2桁の自然数を $10a + b$ とする。ここで、$a$ は1から9までの整数、$b$ は0から9までの整数である。

各位の数の和が3の倍数であるとき、$a + b = 3k$ （$k$は整数）と表せる。

$10a + b$ を変形すると、

$10a + b = (9a + a) + b = 9a + (a + b)$

$a + b = 3k$ を代入すると、

$10a + b = 9a + 3k = 3(3a + k)$

$3a + k$ は整数なので、$10a + b$ は3の倍数である。

したがって、2桁の自然数について、各位の数の和が3の倍数ならば、この自然数は3の倍数である。

(2) 3桁の自然数の場合：

3桁の自然数を $100a + 10b + c$ とする。ここで、$a$ は1から9までの整数、$b$ と $c$ は0から9までの整数である。

各位の数の和が9の倍数であるとき、$a + b + c = 9k$ （$k$は整数）と表せる。

$100a + 10b + c$ を変形すると、

$100a + 10b + c = (99a + a) + (9b + b) + c = 99a + 9b + (a + b + c)$

$a + b + c = 9k$ を代入すると、

$100a + 10b + c = 99a + 9b + 9k = 9(11a + b + k)$

$11a + b + k$ は整数なので、$100a + 10b + c$ は9の倍数である。

したがって、3桁の自然数について、各位の数の和が9の倍数ならば、この自然数は9の倍数である。

3. 最終的な答え

(1) 2桁の自然数 $10a + b$ において、$a+b = 3k$ のとき、$10a + b = 3(3a+k)$ となるため、3の倍数である。

(2) 3桁の自然数 $100a + 10b + c$ において、$a+b+c = 9k$ のとき、$100a + 10b + c = 9(11a + b + k)$ となるため、9の倍数である。