$123^{2018}$ を10進法で表したときの一の位の数字と、$123^{2018}$ を5進法で表したときの一の位の数字を求める問題です。

1. 問題の内容

$123^{2018}$ を10進法で表したときの一の位の数字と、$123^{2018}$ を5進法で表したときの一の位の数字を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $123^{2018}$ を10進法で表したときの一の位の数字を求める。

10進法の一の位は、元の数のmod 10を考えれば良い。

$123 \equiv 3 \pmod{10}$ である。

$3^1 = 3$

$3^2 = 9$

$3^3 = 27 \equiv 7 \pmod{10}$

$3^4 = 81 \equiv 1 \pmod{10}$

よって、3の冪乗の一の位は、3, 9, 7, 1を繰り返す。

$2018 = 4 \times 504 + 2$ であるから、

$123^{2018} \equiv 3^{2018} \equiv 3^{4 \times 504 + 2} \equiv (3^4)^{504} \times 3^2 \equiv 1^{504} \times 9 \equiv 9 \pmod{10}$

したがって、$123^{2018}$ を10進法で表したときの一の位の数字は9である。

(2) $123^{2018}$ を5進法で表したときの一の位の数字を求める。

5進法の一の位は、元の数のmod 5を考えれば良い。

$123 \equiv 3 \pmod{5}$ である。

$3^1 = 3$

$3^2 = 9 \equiv 4 \pmod{5}$

$3^3 = 27 \equiv 2 \pmod{5}$

$3^4 = 81 \equiv 1 \pmod{5}$

よって、3の冪乗の一の位は、3, 4, 2, 1を繰り返す。

$2018 = 4 \times 504 + 2$ であるから、

$123^{2018} \equiv 3^{2018} \equiv 3^{4 \times 504 + 2} \equiv (3^4)^{504} \times 3^2 \equiv 1^{504} \times 9 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}$

したがって、$123^{2018}$ を5進法で表したときの一の位の数字は4である。

3. 最終的な答え

10進法で表された $123^{2018}$ の一の位の数字は 9 である。

5進法で表された $123^{2018}$ の一の位の数字は 4 である。