19以下の素数の集合を全体集合とする。 $A = \{n | n \text{ は4で割ると1余る素数} \}$ $B = \{n | n \text{ は6で割ると1余る素数} \}$ とする。 集合 $A \cap B$ の要素の個数と、集合 $A \cup B$ の要素の個数を求めよ。

1. 問題の内容

19以下の素数の集合を全体集合とする。

$A = \{n | n \text{ は4で割ると1余る素数} \}$

$B = \{n | n \text{ は6で割ると1余る素数} \}$

とする。

集合 $A \cap B$ の要素の個数と、集合 $A \cup B$ の要素の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、19以下の素数をすべて列挙する。

19以下の素数は、2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 である。

次に、集合Aの要素を求める。

4で割ると1余る素数は、

$5 = 4 \times 1 + 1$

$13 = 4 \times 3 + 1$

$17 = 4 \times 4 + 1$

よって、$A = \{5, 13, 17\}$

次に、集合Bの要素を求める。

6で割ると1余る素数は、

$7 = 6 \times 1 + 1$

$13 = 6 \times 2 + 1$

$19 = 6 \times 3 + 1$

よって、$B = \{7, 13, 19\}$

次に、$A \cap B$ を求める。

$A \cap B = \{13\}$

よって、$A \cap B$ の要素の個数は1個である。

次に、$A \cup B$ を求める。

$A \cup B = \{5, 7, 13, 17, 19\}$

よって、$A \cup B$ の要素の個数は5個である。

3. 最終的な答え

$A \cap B$ の要素の個数は 1 個。

$A \cup B$ の要素の個数は 5 個。