与えられた数式群が示す規則性を見つけ、分配法則を用いてそのカラクリを説明する。

1. 問題の内容

与えられた数式群が示す規則性を見つけ、分配法則を用いてそのカラクリを説明する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数式を一般化することを試みます。

$1 \times 9 + 1 \times 2 = 11$

$12 \times 18 + 2 \times 3 = 222$

$123 \times 27 + 3 \times 4 = 3333$

$1234 \times 36 + 4 \times 5 = 44444$

$123456789 \times 81 + 9 \times 10 = 9999999999$

一般化すると、次のようになります。

$\sum_{i=1}^{n} i \times 10^{n-i} \times (9n) + n \times (n+1) = \underbrace{nn\cdots n}_{n個}$

ここで、$S_n = \sum_{i=1}^{n} i \times 10^{n-i}$とおくと、

$S_n = 1 \times 10^{n-1} + 2 \times 10^{n-2} + 3 \times 10^{n-3} + \cdots + n \times 10^{0}$

与えられた式の左辺は、$S_n \times (9n) + n \times (n+1)$ で表せます。

この式が$\underbrace{nn\cdots n}_{n個} = n \times \sum_{i=0}^{n-1} 10^i = n \times \frac{10^n-1}{9}$と等しいことを示せばよいです。

$S_n \times (9n) + n \times (n+1) = n \times \frac{10^n-1}{9}$

$9S_n + n+1 = \frac{10^n-1}{9}$

$9nS_n + n(n+1) = n(\frac{10^n-1}{9})$

$S_n = \sum_{i=1}^{n} i \times 10^{n-i}$

の式を計算します。

上記の式を計算するにはやや複雑な計算が必要です。

別の方法を試してみます。

$1 \times 9 + 1 \times 2 = 9 + 2 = 11$

$12 \times 18 + 2 \times 3 = 216 + 6 = 222$

$123 \times 27 + 3 \times 4 = 3321 + 12 = 3333$

$1234 \times 36 + 4 \times 5 = 44424 + 20 = 44444$

ここで、$1234 = 1111 + 111 + 11 + 1$ のように分解できることを利用して考えます。

$1234 \times 36 = (1111 + 111 + 11 + 1) \times 36 = 1111 \times 36 + 111 \times 36 + 11 \times 36 + 1 \times 36$

$= 39996 + 3996 + 396 + 36 = 44424$

$1234 \times 36 + 4 \times 5 = 44424 + 20 = 44444$

より簡潔にするため、$n=1$ の場合から考えます。

$1 \times 9 + 1 \times 2 = 9 + 2 = 11$

$1 \times (10 - 1) + 1 \times (1 + 1) = 10 - 1 + 1 + 1 = 11$

$n=2$の場合、$12 \times 18 + 2 \times 3 = 12 \times (20 - 2) + 2 \times (2 + 1) = 240 - 24 + 6 = 216 + 6 = 222$

$n=3$の場合、$123 \times 27 + 3 \times 4 = 123 \times (30 - 3) + 3 \times (3 + 1) = 3690 - 369 + 12 = 3321 + 12 = 3333$

$n=4$の場合、$1234 \times 36 + 4 \times 5 = 1234 \times (40 - 4) + 4 \times (4+1) = 49360 - 4936 + 20 = 44424 + 20 = 44444$

$n=9$の場合、$123456789 \times 81 + 9 \times 10 = 123456789 \times (90 - 9) + 9 \times (9 + 1) = 11111111010 - 1111111101 + 90 = 9999999909 + 90 = 9999999999$

3. 最終的な答え

数式が示す規則性は、$S_n \times (9n) + n \times (n+1) = n \times \sum_{i=0}^{n-1} 10^i$ であり、これは $\underbrace{nn\cdots n}_{n個}$ を意味する。

このカラクリは、$1234 = 1111 + 111 + 11 + 1$ のような分解と、$n \times (n+1)$ の加算によって説明できる。