与えられた数式群の規則性を見つける問題です。数式は以下の通りです。 $1 \times 9 + 1 \times 2 = 11$ $12 \times 18 + 2 \times 3 = 222$ $123 \times 27 + 3 \times 4 = 3333$ $1234 \times 36 + 4 \times 5 = 44444$ $123456789 \times 81 + 9 \times 10 = 9999999999$

1. 問題の内容

与えられた数式群の規則性を見つける問題です。数式は以下の通りです。

$1 \times 9 + 1 \times 2 = 11$

$12 \times 18 + 2 \times 3 = 222$

$123 \times 27 + 3 \times 4 = 3333$

$1234 \times 36 + 4 \times 5 = 44444$

$123456789 \times 81 + 9 \times 10 = 9999999999$

2. 解き方の手順

各数式の構造を分析し、規則性を探します。

* **数式の形:** 各数式は $A \times B + C \times D = E$ の形をしています。

* **A:** 1から始まる連続する整数を並べた数です。桁数は式が進むごとに増えます (1, 12, 123, 1234, 123456789)。

* **B:** 9の倍数で、式が進むごとに9ずつ増えます (9, 18, 27, 36, 81)。

* **C:** Aの桁数と同じ数です (1, 2, 3, 4, 9)。

* **D:** C+1です (2, 3, 4, 5, 10)。

* **E:** Aの桁数と同じ数の繰り返しです (1が2個, 2が3個, 3が4個, 4が5個, 9が10個)。

一般化すると、Aの桁数を n とすると、

A = 1から始まるn桁の連番 (例: n=3 なら 123)

B = 9 * n

C = n

D = n+1

E = nが n+1 個並んだ数

と表すことができます。

3. 最終的な答え

これらの式は、

1から始まる連続する整数を並べた数に9の倍数を掛け、その桁数とその次の数を掛けたものを足すと、その桁数と同じ数字が桁数+1個並んだ数になるという規則に従っています。

言い換えると、

n桁の数A = 1, 12, 123, ... に、9n をかけ、n(n+1) を足すと、nが (n+1) 個並んだ数になる。

数式で表現すると以下のようになります。

$A \times 9n + n(n+1) = n \times \frac{10^{n+1}-1}{9}$