与えられた文章は$\sqrt{2}$が無理数であることの背理法による証明である。この証明を参考に以下の3つの問いに答える。 (1) $\sqrt{3}$が無理数であることを証明する。 (2) $\sqrt{4}=2$は無理数ではない。上記の証明の真似がうまくいかない理由を述べる。 (3) 素数が無限個あることを証明する。

1. 問題の内容

与えられた文章は$\sqrt{2}$が無理数であることの背理法による証明である。この証明を参考に以下の3つの問いに答える。

(1) $\sqrt{3}$が無理数であることを証明する。

(2) $\sqrt{4}=2$は無理数ではない。上記の証明の真似がうまくいかない理由を述べる。

(3) 素数が無限個あることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{3}$が無理数であることの証明

背理法を用いる。まず、$\sqrt{3}$が有理数であると仮定する。

すると、$\sqrt{3}$は互いに素な整数$m, n$を用いて $\sqrt{3} = \frac{m}{n}$ と表せる。ここで、$n > 0$とする。

両辺を2乗すると、 $3 = \frac{m^2}{n^2}$ となり、$3n^2 = m^2$ が得られる。

左辺は3の倍数であるから、右辺の$m^2$も3の倍数である。したがって、$m$も3の倍数となる。

そこで、$m = 3m'$ (m'は整数) と表すことができる。

これを$3n^2 = m^2$に代入すると、$3n^2 = (3m')^2 = 9(m')^2$ となり、$n^2 = 3(m')^2$ が得られる。

右辺は3の倍数であるから、左辺の$n^2$も3の倍数である。したがって、$n$も3の倍数となる。

これは、$m$と$n$が互いに素であるという仮定に矛盾する。

よって、$\sqrt{3}$は無理数である。

(2) $\sqrt{4}=2$は無理数ではないことの考察

$\sqrt{4}$に対して$\sqrt{2}$の証明と同様に、$\sqrt{4}=\frac{m}{n}$と仮定すると、$4n^2=m^2$が得られる。$m=2n$は明らかにこの式を満たすため、矛盾が生じない。つまり、$\sqrt{4}=2$が有理数であることを否定できない。

(3) 素数が無限個あることの証明

背理法を用いる。素数が有限個しか存在しないと仮定し、それらを$p_1, p_2, ..., p_n$と並べる。ここで、$p_n$は最大の素数とする。

$q = p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n + 1$ という数を考える。

$q$は、$p_1$から$p_n$までのどの素数で割っても1余るため、これらの素数で割り切れない。

したがって、$q$は素数であるか、または$p_n$よりも大きい素数で割り切れる必要がある。

しかし、$q$自身が素数である場合、$p_n$よりも大きな素数が存在することになり、最初の仮定「$p_n$が最大の素数」に矛盾する。

また、$q$が$p_n$よりも大きい素数$p_{n+1}$で割り切れる場合も、最初の仮定に矛盾する。

いずれにしても矛盾が生じるため、素数は無限個存在する。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}$は無理数である。（証明は上記参照）

(2) $\sqrt{4}=2$は有理数であり、$\sqrt{2}$の証明を模倣しても矛盾が生じないため、無理数であることを否定できない。

(3) 素数は無限個存在する。（証明は上記参照）