$m, n$ を整数とする。命題「$2^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である」を証明する。

1. 問題の内容

$m, n$ を整数とする。命題「$2^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である」を証明する。

2. 解き方の手順

対偶を証明する。元の命題の対偶は「$n$ が奇数ならば、$2^3 + 1$ は偶数である」となる。

$n$ が奇数であると仮定すると、$n = 2k + 1$ ( $k$ は整数) と表せる。

このとき、

$2^3 + 1 = 2^3 + 1 = 2^{(2k+1)3} + 1 = 2^{6k+3} + 1 = (2^6)^k \cdot 2^3 + 1 = 64^k \cdot 8 + 1$

$64^k$ は偶数なので、$64^k \cdot 8$ も偶数である。

したがって、$64^k \cdot 8 + 1$ は奇数となる。

よって、$2^3 + 1$ は奇数となる。

したがって、「$n$ が奇数ならば、$2^3 + 1$ は奇数である」が証明された。

これは元の命題の対偶なので、元の命題「$2^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である」も真である。

3. 最終的な答え

$n$ は偶数である。