$m$, $n$, $k$ は自然数とする。命題「積 $mnk$ は偶数 $\implies$ $m$, $n$, $k$ の少なくとも1つは偶数」の逆、対偶、裏をそれぞれ述べ、それらの真偽を調べる。

1. 問題の内容

$m$, $n$, $k$ は自然数とする。命題「積 $mnk$ は偶数 $\implies$ $m$, $n$, $k$ の少なくとも1つは偶数」の逆、対偶、裏をそれぞれ述べ、それらの真偽を調べる。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた命題の真偽を調べる。

(2) 逆、対偶、裏の命題をそれぞれ記述する。

(3) 逆、対偶、裏の命題の真偽をそれぞれ調べる。

(1) 与えられた命題の真偽

「積 $mnk$ は偶数 $\implies$ $m$, $n$, $k$ の少なくとも1つは偶数」

この命題は真である。積 $mnk$ が偶数であるとき、$m$, $n$, $k$ がすべて奇数であると仮定すると、積 $mnk$ は奇数となり矛盾する。したがって、$m$, $n$, $k$ の少なくとも1つは偶数である。

(2) 逆、対偶、裏の命題

* 逆：「$m$, $n$, $k$ の少なくとも1つは偶数 $\implies$ 積 $mnk$ は偶数」

* 対偶：「$m$, $n$, $k$ がすべて奇数 $\implies$ 積 $mnk$ は奇数」

* 裏：「積 $mnk$ は奇数 $\implies$ $m$, $n$, $k$ はすべて奇数」

(3) 逆、対偶、裏の命題の真偽

* 逆：「$m$, $n$, $k$ の少なくとも1つは偶数 $\implies$ 積 $mnk$ は偶数」

この命題は真である。$m$, $n$, $k$ の少なくとも1つが偶数であるとき、積 $mnk$ は偶数になる。

* 対偶：「$m$, $n$, $k$ がすべて奇数 $\implies$ 積 $mnk$ は奇数」

この命題は真である。$m$, $n$, $k$ がすべて奇数であるとき、積 $mnk$ は奇数になる。

* 裏：「積 $mnk$ は奇数 $\implies$ $m$, $n$, $k$ はすべて奇数」

この命題は真である。積 $mnk$ が奇数であるとき、$m$, $n$, $k$ はすべて奇数である。$m$, $n$, $k$ のうち少なくとも一つが偶数であれば、$mnk$ は偶数となるから。

3. 最終的な答え

* 元の命題：真

* 逆：「$m$, $n$, $k$ の少なくとも1つは偶数 $\implies$ 積 $mnk$ は偶数」真

* 対偶：「$m$, $n$, $k$ がすべて奇数 $\implies$ 積 $mnk$ は奇数」真

* 裏：「積 $mnk$ は奇数 $\implies$ $m$, $n$, $k$ はすべて奇数」真