問題は2つのパートに分かれています。 パート1は、与えられた4つの1次不定方程式のすべての整数解を求める問題です。 パート2は、4で割ると2余り、7で割ると4余るような3桁の正の整数のうち、最小のものを求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つのパートに分かれています。

パート1は、与えられた4つの1次不定方程式のすべての整数解を求める問題です。

パート2は、4で割ると2余り、7で割ると4余るような3桁の正の整数のうち、最小のものを求める問題です。

2. 解き方の手順

パート1:

(1) $3x - 2y = 0$

$3x = 2y$

$x = 2n, y = 3n$ (nは整数)

(2) $4x - 11y = 0$

$4x = 11y$

$x = 11n, y = 4n$ (nは整数)

(3) $13x + 9y = 0$

$13x = -9y$

$x = -9n, y = 13n$ (nは整数)

(4) $6x + 8y = 0$

$3x + 4y = 0$

$3x = -4y$

$x = -4n, y = 3n$ (nは整数)

パート2:

求める整数を$N$とします。

$N = 4k + 2$ (kは整数)

$N = 7l + 4$ (lは整数)

$4k + 2 = 7l + 4$

$4k = 7l + 2$

$4k \equiv 2 \pmod{7}$

$8k \equiv 4 \pmod{7}$

$k \equiv 4 \pmod{7}$

$k = 7m + 4$ (mは整数)

$N = 4(7m + 4) + 2 = 28m + 16 + 2 = 28m + 18$

$N$は3桁の正の整数なので、$100 \leq N \leq 999$

$100 \leq 28m + 18 \leq 999$

$82 \leq 28m \leq 981$

$82/28 \leq m \leq 981/28$

$2.93 \leq m \leq 35.03$

$m$は整数なので、$3 \leq m \leq 35$

$m = 3$のとき、$N = 28(3) + 18 = 84 + 18 = 102$

$m = 35$のとき、$N = 28(35) + 18 = 980 + 18 = 998$

3桁の正の整数のうち最小のものは、$102$です。

3. 最終的な答え

(1) 1

① $x = 2n$, $y = 3n$ (nは整数)

(2) 102