整数 $n$ について、「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」という命題を、対偶を利用して証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」という命題を、対偶を利用して証明する。

2. 解き方の手順

与えられた命題の対偶は、「$n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数である」となる。この対偶を証明することで、元の命題が真であることが示される。

(1) $n$ が偶数であると仮定する。

このとき、$n$ はある整数 $k$ を用いて $n = 2k$ と表せる。

(2) $n^2$ を計算する。

$n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$

(3) $2k^2$ は整数であるから、$n^2$ は 2 の倍数である。

したがって、$n^2$ は偶数である。

(4) よって、「$n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数である」が成り立つ。

これは元の命題の対偶であるから、対偶が真であるため、元の命題「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」も真である。

3. 最終的な答え

$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である。