与えられた線形ディオファントス方程式 $127x + 37y = \gcd(127, 37)$ を満たす整数 $x$ と $y$ の組を、拡張ユークリッドの互除法を用いて求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた線形ディオファントス方程式 $127x + 37y = \gcd(127, 37)$ を満たす整数 $x$ と $y$ の組を、拡張ユークリッドの互除法を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、ユークリッドの互除法を用いて $\gcd(127, 37)$ を求めます。

$127 = 3 \times 37 + 16$

$37 = 2 \times 16 + 5$

$16 = 3 \times 5 + 1$

$5 = 5 \times 1 + 0$

したがって、$\gcd(127, 37) = 1$ です。

次に、拡張ユークリッドの互除法を用いて、$127x + 37y = 1$ を満たす整数 $x$ と $y$ を求めます。

$1 = 16 - 3 \times 5$

$1 = 16 - 3 \times (37 - 2 \times 16)$

$1 = 16 - 3 \times 37 + 6 \times 16$

$1 = 7 \times 16 - 3 \times 37$

$1 = 7 \times (127 - 3 \times 37) - 3 \times 37$

$1 = 7 \times 127 - 21 \times 37 - 3 \times 37$

$1 = 7 \times 127 - 24 \times 37$

したがって、$127x + 37y = 1$ の一つの解は $x = 7$、$y = -24$ です。

3. 最終的な答え

$x = 7$, $y = -24$