* 問1：$m = 20$ のとき、$\sum_{d|m} \phi(d) = m$ が成り立つことを確認する。 * 問2：$\phi(36)$ と $\phi(25)$ を計算する。 * 問3：以下の連立合同式を解く。 1. $x \equiv 2 \pmod{5}$ $x \equiv 3 \pmod{11}$ 2. $x \equiv 2 \pmod{6}$ $x \equiv 3 \pmod{9}$ * 問4：おはじきの個数を求める。3個ずつ分けると1個余り、5個ずつ分けると2個余り、11個ずつ分けると3個余る。総数は500個以下である。

以下に、画像に写っている数学の問題の解答を示します。

1. 問題の内容

* 問1：$m = 20$ のとき、$\sum_{d|m} \phi(d) = m$ が成り立つことを確認する。

* 問2：$\phi(36)$ と $\phi(25)$ を計算する。

* 問3：以下の連立合同式を解く。

1. $x \equiv 2 \pmod{5}$

$x \equiv 3 \pmod{11}$

2. $x \equiv 2 \pmod{6}$

$x \equiv 3 \pmod{9}$

* 問4：おはじきの個数を求める。3個ずつ分けると1個余り、5個ずつ分けると2個余り、11個ずつ分けると3個余る。総数は500個以下である。

2. 解き方の手順

* 問1：$m = 20$ の約数は 1, 2, 4, 5, 10, 20 である。それぞれの $\phi$ を計算する。

* $\phi(1) = 1$

* $\phi(2) = 1$

* $\phi(4) = 2$

* $\phi(5) = 4$

* $\phi(10) = 4$

* $\phi(20) = 8$

$\sum_{d|20} \phi(d) = 1 + 1 + 2 + 4 + 4 + 8 = 20 = m$ となり、成り立つ。

* 問2：

1. $\phi(36) = \phi(2^2 \cdot 3^2) = 36(1 - \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{3}) = 36 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = 12$

2. $\phi(25) = \phi(5^2) = 25(1 - \frac{1}{5}) = 25 \cdot \frac{4}{5} = 20$

* 問3：

1. $x \equiv 2 \pmod{5}$ より $x = 5k + 2$ と書ける。

これを $x \equiv 3 \pmod{11}$ に代入すると $5k + 2 \equiv 3 \pmod{11}$。

$5k \equiv 1 \pmod{11}$

$5k \equiv 1 + 22 \pmod{11}$

$5k \equiv 23 \pmod{11}$なので、$k \equiv \frac{23}{5} \pmod{11}$は整数にならない。

代わりに$5k \equiv 1 \pmod{11}$ に $9$ をかけると

$45k \equiv 9 \pmod{11}$

$k \equiv 9 \pmod{11}$。したがって、$k = 11l + 9$

$x = 5(11l + 9) + 2 = 55l + 45 + 2 = 55l + 47$。

よって、$x \equiv 47 \pmod{55}$。

2. $x \equiv 2 \pmod{6}$ より $x = 6k + 2$ と書ける。

これを $x \equiv 3 \pmod{9}$ に代入すると $6k + 2 \equiv 3 \pmod{9}$。

$6k \equiv 1 \pmod{9}$

$6k = 1 + 9n$

$2k = \frac{1 + 9n}{3} = \frac{1}{3} + 3n$となり、整数にならないため解なし。

* 問4：

おはじきの個数を $x$ とすると、

$x \equiv 1 \pmod{3}$

$x \equiv 2 \pmod{5}$

$x \equiv 3 \pmod{11}$

$x \equiv 1 \pmod{3}$ より $x = 3k + 1$。

これを $x \equiv 2 \pmod{5}$ に代入すると $3k + 1 \equiv 2 \pmod{5}$。

$3k \equiv 1 \pmod{5}$。 $3k \equiv 6 \pmod{5}$ より $k \equiv 2 \pmod{5}$。

したがって、$k = 5l + 2$。

$x = 3(5l + 2) + 1 = 15l + 6 + 1 = 15l + 7$。

これを $x \equiv 3 \pmod{11}$ に代入すると $15l + 7 \equiv 3 \pmod{11}$。

$15l \equiv -4 \equiv 7 \pmod{11}$。

$4l \equiv 7 \pmod{11}$

$12l \equiv 21 \pmod{11}$

$l \equiv 10 \pmod{11}$

したがって、$l = 11m + 10$

$x = 15(11m + 10) + 7 = 165m + 150 + 7 = 165m + 157$。

$x \equiv 157 \pmod{165}$

$x \leq 500$ より、$m = 0, 1, 2$。

$x = 157, 322, 487$

3. 最終的な答え

* 問1：成り立つ

* 問2：

1. $\phi(36) = 12$

2. $\phi(25) = 20$

* 問3：

1. $x \equiv 47 \pmod{55}$

2. 解なし

* 問4：おはじきの個数は157個、322個、または487個である。