$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ が無理数であることを、$\sqrt{5}$ が無理数であることを用いて証明するために、背理法を用いる。 $\sqrt{3} + \sqrt{5}$ が有理数であると仮定した場合に矛盾が生じることを示す。

1. 問題の内容

$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ が無理数であることを、$\sqrt{5}$ が無理数であることを用いて証明するために、背理法を用いる。

$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ が有理数であると仮定した場合に矛盾が生じることを示す。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{3} + \sqrt{5}$ が有理数であると仮定する。したがって、ある有理数 $r$ が存在して、

$\sqrt{3} + \sqrt{5} = r$

この式の両辺を2乗すると、

$(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = r^2$

$3 + 2\sqrt{15} + 5 = r^2$

$8 + 2\sqrt{15} = r^2$

$2\sqrt{15} = r^2 - 8$

$\sqrt{15} = \frac{r^2 - 8}{2}$

$r$ は有理数なので、$r^2$ も有理数であり、$r^2 - 8$ も有理数である。したがって、$\frac{r^2 - 8}{2}$ も有理数である。しかし、$\sqrt{15}$ は無理数なので、これは矛盾である。

したがって、$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ は有理数ではない。

(2) 問題文中の空欄を埋めていく。

$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ が (1) と仮定する。ここで、(1) は「有理数」が入る。

$\sqrt{3} + \sqrt{5} = r$ とすると、$r \ne 0$ より、$\sqrt{5} =$ (2) となる。(2)には有理数の式が入る。

$\sqrt{3} = r - \sqrt{5}$ より、$3 = (r-\sqrt{5})^2 = r^2 - 2r\sqrt{5} + 5$

$2r\sqrt{5} = r^2 + 2$

$\sqrt{5} = \frac{r^2 + 2}{2r}$

$r$ は有理数なので、$\frac{r^2 + 2}{2r}$ も有理数である。したがって、(2)には$\frac{r^2 + 2}{2r}$ が入る。

$r$ が (1) 「有理数」のとき、(2) $\frac{r^2 + 2}{2r}$ は (1) 「有理数」であるから、この等式は $\sqrt{5}$ が (1) 「有理数」であることに矛盾する。

したがって、$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ は (3) である。 (3) には「無理数」が入る。

3. 最終的な答え

(1): 有理数

(2): $\frac{r^2 + 2}{2r}$

(3): 無理数