座標平面上に3点 $A(-1,1)$, $B(2, -5)$, $C(5,4)$ が与えられている。 (1) 2点 $A, B$ 間の距離 $AB$ を求める。 (2) $\triangle ABC$ について、$\angle A$ の角度と、辺の長さの関係を求め、三角形の種類を特定する。

1. 問題の内容

座標平面上に3点 $A(-1,1)$, $B(2, -5)$, $C(5,4)$ が与えられている。

(1) 2点 $A, B$ 間の距離 $AB$ を求める。

(2) $\triangle ABC$ について、$\angle A$ の角度と、辺の長さの関係を求め、三角形の種類を特定する。

2. 解き方の手順

(1) 2点間の距離の公式を用いる。

$AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-5 - 1)^2}$

$AB = \sqrt{(3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$

よって、$AB = 3\sqrt{5}$

(2) $\triangle ABC$ の各辺の長さを計算する。

$AB = 3\sqrt{5}$ (既に計算済み)

$BC = \sqrt{(5-2)^2 + (4-(-5))^2} = \sqrt{3^2 + 9^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$

$AC = \sqrt{(5-(-1))^2 + (4-1)^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

したがって、$AB = AC = 3\sqrt{5}$ であるから、$\triangle ABC$ は二等辺三角形である。

次に、$\angle A$ を求めるために、余弦定理を用いる。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos A$

$(3\sqrt{10})^2 = (3\sqrt{5})^2 + (3\sqrt{5})^2 - 2 \times 3\sqrt{5} \times 3\sqrt{5} \times \cos A$

$90 = 45 + 45 - 2 \times 9 \times 5 \times \cos A$

$90 = 90 - 90 \cos A$

$0 = -90 \cos A$

$\cos A = 0$

よって、$\angle A = 90^\circ$

したがって、$\triangle ABC$ は、$\angle A = 90^\circ$ の直角二等辺三角形である。また、$AC=AB$である。

3. 最終的な答え

(1) $AB = 3\sqrt{5}$

ス = 3, セ = 5

(2) $\triangle ABC$ は $\angle A = 90^\circ$, $AC = AB$ の直角二等辺三角形である。

ソ = 90, タ = AB, チ = 直角二等辺三角形

選択肢から選ぶと、ソ = 3, タ = 4, チ = 7