この問題は、一次合同式の計算、不定方程式の整数解、および逆元の計算を行うものです。具体的には、以下の問題を解きます。 1. $5x \equiv 13 \pmod{37}$

はい、承知いたしました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

この問題は、一次合同式の計算、不定方程式の整数解、および逆元の計算を行うものです。具体的には、以下の問題を解きます。

1. $5x \equiv 13 \pmod{37}$

2. $9x + 13y = 1$ の整数解を1つ求める

3. 7を法として3の逆元を求める

4. 11を法として7の逆元を求める

5. 31を法として7の逆元を求める

6. 41を法として9の逆元を求める

2. 解き方の手順

1. 一次合同式 $5x \equiv 13 \pmod{37}$ を解く:

まず、$5x \equiv 13 \pmod{37}$ を解くために、$5$ の法 $37$ における逆元を求めます。

$5$ と $37$ は互いに素なので、拡張ユークリッドの互除法を用いて逆元を求めます。

$37 = 5 \times 7 + 2$

$5 = 2 \times 2 + 1$

$1 = 5 - 2 \times 2 = 5 - 2 \times (37 - 5 \times 7) = 5 - 2 \times 37 + 14 \times 5 = 15 \times 5 - 2 \times 37$

したがって、$15 \times 5 \equiv 1 \pmod{37}$ となるため、$5$ の逆元は $15$ です。

$x \equiv 15 \times 13 \pmod{37}$

$x \equiv 195 \pmod{37}$

$195 = 37 \times 5 + 10$

$x \equiv 10 \pmod{37}$

2. 不定方程式 $9x + 13y = 1$ の整数解を求める:

拡張ユークリッドの互除法を用いて、$9x + 13y = 1$ の整数解を求めます。

$13 = 9 \times 1 + 4$

$9 = 4 \times 2 + 1$

$1 = 9 - 4 \times 2 = 9 - 2 \times (13 - 9 \times 1) = 9 - 2 \times 13 + 2 \times 9 = 3 \times 9 - 2 \times 13$

したがって、$x = 3$、$y = -2$ が解の一つです。

3. 7を法として3の逆元を求める:

$3x \equiv 1 \pmod{7}$ を満たす $x$ を求めます。

$3 \times 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7}$

したがって、$3$ の逆元は $5$ です。

4. 11を法として7の逆元を求める:

$7x \equiv 1 \pmod{11}$ を満たす $x$ を求めます。

$7 \times 8 = 56 \equiv 1 \pmod{11}$

したがって、$7$ の逆元は $8$ です。

5. 31を法として7の逆元を求める:

$31 \equiv 3 \pmod{7}$ なので、31を法として7の逆元は、3を法として7の逆元と同じです。

$3x \equiv 1 \pmod{7}$ を満たす $x$ を求めます。

$3 \times 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7}$

したがって、$31$ の逆元は $5$ です。

6. 41を法として9の逆元を求める:

$41 \equiv 5 \pmod{9}$ なので、41を法として9の逆元は、5を法として9の逆元と同じです。

$5x \equiv 1 \pmod{9}$ を満たす $x$ を求めます。

$5 \times 2 = 10 \equiv 1 \pmod{9}$

したがって、$41$ の逆元は $2$ です。

3. 最終的な答え

1. $x \equiv 10 \pmod{37}$

2. $x = 3, y = -2$ (例)

3. $5$

4. $8$

5. $5$

6. $2$