(1) 与えられた命題の対偶が真であることを示し、元の命題が真であることを示す問題。 (2) $\sqrt{15}$ が無理数であることを利用して、$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ が無理数であることを背理法で証明する問題。

1. 問題の内容

(1) 与えられた命題の対偶が真であることを示し、元の命題が真であることを示す問題。

(2) $\sqrt{15}$ が無理数であることを利用して、$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ が無理数であることを背理法で証明する問題。

2. 解き方の手順

(1)

元の命題は「$a \neq 1$ または $b \neq 3$ ならば、$4a - b \neq 1$ または $2a + b \neq 5$ である」。

この対偶は「$4a - b = 1$ かつ $2a + b = 5$ ならば、$a = 1$ かつ $b = 3$ である」。

$4a - b = 1$ かつ $2a + b = 5$ の連立方程式を解くと、

$4a - b + 2a + b = 1 + 5$

$6a = 6$

$a = 1$

これを $2a + b = 5$ に代入すると、$2(1) + b = 5$ より $b = 3$。

よって、$a = 1$ かつ $b = 3$ となるので、対偶は真である。対偶が真なので、元の命題も真である。

(2)

$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ が無理数でない、すなわち有理数であると仮定する。

$\sqrt{3} + \sqrt{5} = a$ とおく (ただし、$a$ は有理数)。

両辺を2乗すると、

$(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = a^2$

$3 + 2\sqrt{15} + 5 = a^2$

$8 + 2\sqrt{15} = a^2$

$2\sqrt{15} = a^2 - 8$

$\sqrt{15} = \frac{a^2 - 8}{2}$

$a$ は有理数なので、$a^2$ も有理数。したがって、$\frac{a^2 - 8}{2}$ も有理数である。

これは $\sqrt{15}$ が無理数であることに矛盾する。

よって、$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

(1) 対偶が真なので、もとの命題も **真** である。

(2) $a$ は **有理数** なので $\frac{a^2 - 8}{2}$ も **有理数** となるが、$\sqrt{15}$ が **無理数** であることに矛盾する。

よって、$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ は **無理数** である。