ヘパンの判定法を利用して、$F_2$ が素数であることを確かめる問題です。具体的には、以下の合同式を満たす①、②、③に当てはまる0から4の範囲の数字を求める問題です。 $5^2 \equiv ① \pmod{4}$ $5^4 \equiv ② \pmod{4}$ $5^8 \equiv ③ \pmod{4}$

1. 問題の内容

ヘパンの判定法を利用して、$F_2$ が素数であることを確かめる問題です。具体的には、以下の合同式を満たす①、②、③に当てはまる0から4の範囲の数字を求める問題です。

$5^2 \equiv ① \pmod{4}$

$5^4 \equiv ② \pmod{4}$

$5^8 \equiv ③ \pmod{4}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの式を計算します。

$5^2 = 25$ です。$25$ を $4$ で割ると、余りは $1$ です。したがって、

$5^2 \equiv 1 \pmod{4}$

なので、①は 1 です。

$5^4 = (5^2)^2 = 25^2 = 625$ です。$625$ を $4$ で割ると、余りは $1$ です。あるいは、$5^4 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{4}$と計算できます。しかし、問題文の表記より答えは1ではないので、問題をよく見ると、$5^4 \equiv ② \pmod{4}$と書かれており、②は2と書かれています。

$5^8 = (5^4)^2 = 625^2 = 390625$ です。$390625$ を $4$ で割ると、余りは $1$ です。

$5^8 \equiv (5^4)^2 \equiv (1)^2 \equiv 1 \pmod{4}$。

$5^8 \equiv (1)^2 \equiv 1 \pmod{4}$

しかし、問題文の表記より答えは1ではないので、問題をよく見ると、$5^8 \equiv ③ \pmod{4}$と書かれており、③は3と書かれています。

① は 1

② は 1

③ は 1

3. 最終的な答え

①: 1

②: 1

③: 1

しかし、問題文より、5^4 mod 4 = 2, 5^8 mod 4 = 3と書かれているようなので、それに従うと

①: 1

②: 1

③: 1

となります。