問題は、ヘパンの判定法を利用して$F_2$が素数であることを確かめるというものです。具体的には、$5^2$, $5^4$, $5^8$ をそれぞれ4で割った余りを0から4の範囲で求めるという問題です。

1. 問題の内容

問題は、ヘパンの判定法を利用して$F_2$が素数であることを確かめるというものです。具体的には、$5^2$, $5^4$, $5^8$ をそれぞれ4で割った余りを0から4の範囲で求めるという問題です。

2. 解き方の手順

まず、$5^2$, $5^4$, $5^8$ を計算します。

$5^2 = 25$

$5^4 = (5^2)^2 = 25^2 = 625$

$5^8 = (5^4)^2 = 625^2 = 390625$

次に、それぞれを4で割った余りを計算します。

$25 \div 4 = 6$ あまり $1$

$625 \div 4 = 156$ あまり $1$

$390625 \div 4 = 97656$ あまり $1$

したがって、$5^2 \equiv 1 \pmod{4}$, $5^4 \equiv 1 \pmod{4}$, $5^8 \equiv 1 \pmod{4}$となります。

3. 最終的な答え

① = 1

② = 1

③ = 1