自然数 $n$ に対して、$2n^3 - 3n^2 + n$ が6の倍数であることを、(1) 数学的帰納法, (2) 連続する3整数の積が6の倍数であることの利用、の2通りの方法で証明する。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$2n^3 - 3n^2 + n$ が6の倍数であることを、(1) 数学的帰納法, (2) 連続する3整数の積が6の倍数であることの利用、の2通りの方法で証明する。

2. 解き方の手順

(1) 数学的帰納法による証明

ステップ1: $n = 1$ のとき

$2(1)^3 - 3(1)^2 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$ となり、0は6の倍数なので、$n = 1$ のとき成立する。

ステップ2: $n = k$ のとき、$2k^3 - 3k^2 + k$ が6の倍数であると仮定する。すなわち、ある整数 $m$ を用いて $2k^3 - 3k^2 + k = 6m$ と表せると仮定する。

ステップ3: $n = k + 1$ のとき

$2(k+1)^3 - 3(k+1)^2 + (k+1)$

$= 2(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) - 3(k^2 + 2k + 1) + (k+1)$

$= 2k^3 + 6k^2 + 6k + 2 - 3k^2 - 6k - 3 + k + 1$

$= 2k^3 + 3k^2 + k$

$= (2k^3 - 3k^2 + k) + 6k^2$

$= 6m + 3k^2 + 3k^2 = 6m + 3k(k+1)$

$k(k+1)$ は連続する2つの整数の積なので、必ず偶数である。

したがって、$k(k+1) = 2l$ （$l$ は整数）と書ける。

よって、$6m + 3k(k+1) = 6m + 3(2l) = 6m + 6l = 6(m+l)$ となり、6の倍数である。

したがって、$n = k+1$ のときも成立する。

ステップ4: 数学的帰納法の原理より、$2n^3 - 3n^2 + n$ はすべての自然数 $n$ に対して6の倍数である。

(2) 連続する3整数の積の利用による証明

$2n^3 - 3n^2 + n = n(2n^2 - 3n + 1) = n(2n-1)(n-1) = (n-1)n(2n-1)$

ここで、$n$ が偶数のとき、$n = 2k$ （$k$ は整数）とすると、

$(n-1)n(2n-1) = (2k-1)(2k)(4k-1) = 2k(2k-1)(4k-1)$

また、$n$ が奇数のとき、$n = 2k+1$ （$k$ は整数）とすると、

$(n-1)n(2n-1) = (2k)(2k+1)(4k+1) = 2k(2k+1)(4k+1)$

いずれの場合も $2k$ の項が存在するので、これは2の倍数である。

また、$2n^3 - 3n^2 + n = n(2n-1)(n-1)$において、$n$を3で割った余りを考える。

i) $n$ が3の倍数のとき、$n = 3k$ とすると、$n(2n-1)(n-1) = 3k(6k-1)(3k-1)$ となり、3の倍数。

ii) $n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、$n-1 = 3k$ とすると、$n(2n-1)(n-1) = (3k+1)(6k+1)(3k)$ となり、3の倍数。

iii) $n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、$2n - 1 = 4 - 1 = 3$ となり、$n(2n-1)(n-1) = n(2n-1)(n-1)$は3の倍数。

したがって、$2n^3 - 3n^2 + n$ は2の倍数かつ3の倍数なので、6の倍数である。

別解：

$2n^3-3n^2+n = n(n-1)(2n-1) = n(n-1)(2n-4+3) = 2n(n-1)(n-2)+3n(n-1)$.

$n(n-1)(n-2)$は連続する3整数の積なので6の倍数であり、$n(n-1)$は連続する2整数の積なので2の倍数.

したがって、$2n(n-1)(n-2)$は12の倍数であり、$3n(n-1)$は6の倍数.

よって、$2n^3-3n^2+n$は6の倍数。

3. 最終的な答え

$2n^3 - 3n^2 + n$ は6の倍数である。