問題は、ヘパンの判定法を利用してF2が素数であることを確かめるために、与えられた合同式を満たす数字を求めることです。具体的には、以下の合同式における①、②、③に当てはまる0から4の範囲の数字を求めます。 $5^2 \equiv ① \pmod{4}$ $5^4 \equiv ② \pmod{4}$ $5^8 \equiv ③ \pmod{4}$

1. 問題の内容

問題は、ヘパンの判定法を利用してF2が素数であることを確かめるために、与えられた合同式を満たす数字を求めることです。具体的には、以下の合同式における①、②、③に当てはまる0から4の範囲の数字を求めます。

$5^2 \equiv ① \pmod{4}$

$5^4 \equiv ② \pmod{4}$

$5^8 \equiv ③ \pmod{4}$

2. 解き方の手順

それぞれの合同式について計算を行い、①、②、③に入る数字を求めます。

まず、$5^2$を計算します。

$5^2 = 25$

$25 \div 4 = 6 \cdots 1$

よって、$5^2 \equiv 1 \pmod{4}$なので、①は1です。

次に、$5^4$を計算します。

$5^4 = (5^2)^2 = 25^2 = 625$

$625 \div 4 = 156 \cdots 1$

よって、$5^4 \equiv 1 \pmod{4}$　なので、②は1です。

または、$5^4 \equiv (5^2)^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{4}$と計算しても良いです。

最後に、$5^8$を計算します。

$5^8 = (5^4)^2 = 625^2 = 390625$

$390625 \div 4 = 97656 \cdots 1$

よって、$5^8 \equiv 1 \pmod{4}$なので、③は1です。

または、$5^8 \equiv (5^4)^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{4}$と計算しても良いです。

もしくは、$5^8 = (5^2)^4 \equiv 1^4 \equiv 1 \pmod{4}$と計算しても良いです。

しかし、②と③の値が問題文に書いてある値と違うため、問題文の$5^4 \equiv ② \pmod{4}$, $5^8 \equiv ③ \pmod{4}$ は誤りであると考えられます。

正しい問題では、$5^2 \equiv ① \pmod{4}$, $5^4 \equiv ② \pmod{4}$, $5^8 \equiv ③ \pmod{4}$ であって、問題文の記載が誤っていると考えられます。

$5^2 \equiv 25 \equiv 1 \pmod{4}$

$5^4 \equiv (5^2)^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{4}$

$5^8 \equiv (5^4)^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{4}$

したがって、①=1, ②=1, ③=1です。

問題文に与えられている条件（$5^2 \equiv ① \pmod{4}$、$5^4 \equiv ② \pmod{4}$、$5^8 \equiv ③ \pmod{4}$）を満たすように、①、②、③を求めます。

$5^2 \equiv ① \pmod{4}$ より、$25 \equiv ① \pmod{4}$ なので $① = 1$ です。

$5^4 \equiv ② \pmod{4}$ より、$625 \equiv ② \pmod{4}$ なので $② = 1$ です。

$5^8 \equiv ③ \pmod{4}$ より、$390625 \equiv ③ \pmod{4}$ なので $③ = 1$ です。

しかし、問題文には $5^4 \equiv 2 \pmod{4}$、 $5^8 \equiv 3 \pmod{4}$ と記載されています。

したがって、$5^2 \equiv 1 \pmod{4}$ より ① = 1

$5^4 \equiv 2 \pmod{4}$ より ② = 2

$5^8 \equiv 3 \pmod{4}$ より ③ = 3

3. 最終的な答え

① = 1

② = 1

③ = 1

もし問題文に書かれている通りであれば

① = 1

② = 2

③ = 3